PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn nhất của A Bài 2 (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau[.]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 2022-2023 Bài (5,0 điểm) x 1 x 3 x 1; x 2 x2 x2 A x x x x x x x 3 Cho biểu thức 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn A Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau : 2x 2 x 13 x x 12 4 x x 13 x x 12 2) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x xy 2020 x 2021 y 2022 0 Bài (3,0 điểm) 1) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab a b chia hết cho 48 2 2) Với ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T 507 xz xy yz Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE=CM 1) Chứng minh OEM vuông cân 2) Chứng minh EM / / BN CH BN H BN Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng 3) Từ C kẻ 4) Cho độ dài đoạn thẳng AB a P, Q thuộc cạnh AB, AD cho góc PCQ 450 Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 52 n −6 n+2 −12là số nguyên tố ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) x 1 x 3 x 1; x 2 x2 x2 A x x x 3x x x x 3 Cho biểu thức 3) Rút gọn A x 1 x 3 x 1; x 2 x2 x2 A x x x x x x x 3 x ( x 1) x ( x 3) x 1 x 3 x3 x ( x 2) x x 1 x 1 x x 3 x x x2 x 2 ( x 2) x x 1 4) x2 x4 x2 1 Tìm giá trị lớn A x 1; x 2; x 3 A Với 2x2 x2 *) x A ; x A 4 x x 1 x x 1 x2 1 x2 Áp dụng bđt Co si cho số dương x2 ; 1 x 2 x 2 x x x ta có 2 1 x2 1 A x2 x 1 x 1(tmdk ) x Dấu xảy x hay Max A x 1 Vậy Bài (4,0 điểm) 3) Giải phương trình sau : 2x 2 x 13 x x 12 4 x x 13 x x 12 2 x x 13 x 5x 12 4 x x 13 x x 12 x x 13 x x 13 x x 12 x x 12 0 x x 13 x x 12 0 x x 13 x 10 x 24 2 2 2 2 2 2 2 2 0 11x 11 0 x 4) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x xy 2020 x 2021 y 2022 0 x xy 2020 x 2021y 2022 0 x xy x 2021x 2021y 2021 1 x 2021 x y 1 1 x 2021 Th1: x y x 2020 x 2021 1 Th2 : y 2022 x y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x 2022 y 2022 x; y 2020; 2022 ; 2022; 2022 Bài (3,0 điểm) 3) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab a b chia hết cho 48 Đặt A ab a b a 1 (b 1) Vì a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a 2k 1 ; b 2k 1 k Z 2 A 2k 1 1 2k 1 1 4k 4k 4k 4k 4k k 1 4k k 1 16k k 1 k 1 16 Mà A3 (do k-1, k, k+1 số tự nhiên liên tiếp ) Mà 3,16 có UCLN nên A chia hết cho 48 2 4) Với ba số thực x, y , z thỏa mãn x y z 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T 507 xz xy yz T 507 xz xy yz 2T 507.2 xz y x z 2T 507.2 xz y x z x y z 2T 506.2 xz y( x z ) x z y 2 2T 506.2 xz x z y x z y 2T 506.2 xz x z y 1 *) y 0y; ( x z ) 0 x, z xz x z x y z Từ (1) (2) suy 2T 506 x z x z y 2T 506 x z y x z y 2T 506.8 2T 507.8 4056 T 2028 x z 0 x 2; y 0; z 2 x z y 0 x 2; y 0; z 2 2 x y z Dấu xảy x 2; y 0; z MinT 2028 x 2; y 0; z 2 Vậy Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE=CM E A B O M D H C N 5) Chứng minh OEM vng cân Ta có ABCD hình vng tâm O (GT) nên AC BD O ; OA OB OC OD ABO OCB 45 (tính chất hình vng) Xét EBO MCO có : OB OC (cmt ), EBO OCM 45 , BE CM gt EBO MCO (c.g c ) EO OM (hai cạnh tương ứng) EOB MOC (hai góc tương ứng) EOM EOB BOM COM MOB COB 90 EOM 90 cmt Xét EOM có EO OM (cmt ) EOM cân O, mà OEM vuông cân O (đpcm) 6) Chứng minh EM / / BN AM BM MN MC (hệ định lý Talet) Ta có : Mà AB BC (do ABCD hình vng) BE CM ( gt ) AE BM AM AE EM / / BN MN EB (Định lý Talet đảo) AB / / CN 7) Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Kẻ OM cắt BN H’ Vì EM / / BN (cmt ) OME OH ' B (hai góc đồng vị) Mà OME 45 OH ' B 45 Xét OMC BMH ' có : OMC BMH ' (hai góc đối đỉnh) OMC ∽ BMH '( g g ) OM MH ' OM MB MB MC MH ' MC OCM MH ' B 45 OM MB OMB & CMH ' : cmt ; OMB CMH ' MH ' MC Xét (hai góc đối đỉnh) OMB ∽ CMH '(c.g.c) OBM MH ' C (hai góc tương ứng) Mà OBM 45 MH ' C 45 Ta có BH ' C CH ' M MH ' B 45 45 90 Hay CH ' BN H ' mà CH BN H nên H H ' O, M , H thẳng hàng (đpcm) 8) Cho độ dài đoạn thẳng AB a P, Q thuộc cạnh AB, AD cho góc PCQ 450 Vẽ hinh vuông BCE ' F , Trên tia BF lấy M’ cho BM’=DQ Dễ dàng chứng minh CQD CM ' B (c.g c ) DCQ BCM ' (hai góc tương ứng) CM ' CQ (hai cạnh tương ứng) DCQ QCA 45 DCQ ACP BCM ' ACP ACP QCA 45 Ta có : Ta có : M ' CP PCB BCM ' ACB ACP BCM ' 45 ACP BCM ' 45 QCP M ' CP (c.g c) PQ PM ' (hai cạnh tương ứng) PAQP AP AQ PQ AP AQ PM ' AP AQ PB BM ' AP AQ PB QD AP PB AQ QD 2a (dfcm ) Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 52 n −6 n+2 −12là số nguyên tố 2n Đặt A 5 n2 12 Ta có : 52 n Để A số nguyên tố n n 3 n2 12 52.52 n n 3 12 1 2n n 3 0 n 0 n 3 A 5 12 13 Th1: số nguyên tố nên n 0;3 giá trị cần tìm Th : n n 3 0; n N , n 3, n N Ta có A 52 n n 2 12 25n n 1 12 26 1 1 Nếu n lẻ n 3n lẻ nên n n 1 1 Nếu n chẵn n 3n lẻ nên 12 26.B 1 n 3n 1 12 n n 1 A 26.B 12 2.13B 13 13 B 1 13 n 0 n 3 52 n −6 n+2 −12 Vậy số nguyên tố n2 n 1 mà B 0n 3, n N nên A hợp số ... nghiệm x 2 022 y 2 022 x; y 2020; 2 022 ; 2 022; 2 022 Bài (3,0 điểm) 3) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab a b chia hết cho 48 Đặt A ab... 506 .8 2T 507 .8 4056 T 20 28 x z 0 x 2; y 0; z 2 x z y 0 x 2; y 0; z 2 2 x y z Dấu xảy x 2; y 0; z MinT 20 28 ... 2 022 0 x xy 2020 x 2021y 2 022 0 x xy x 2021x 2021y 2021 1 x 2021 x y 1 1 x 2021 Th1: x y x 2020 x 2021 1 Th2 : y 2022