103 đề hsg toán 8 hà đông 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn nhất của A Bài 2 (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau[.]

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HÀ ĐƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 2022-2023 Bài (5,0 điểm)    x  1  x  3  x 1; x 2  x2 x2 A      x  x  x  x   x  x   x 3   Cho biểu thức 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn A Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình sau :  2x 2  x  13   x  x  12  4  x  x  13   x  x  12  2) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  xy  2020 x  2021 y  2022 0 Bài (3,0 điểm) 1) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab  a  b  chia hết cho 48 2 2) Với ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T 507 xz  xy  yz Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE=CM 1) Chứng minh OEM vuông cân 2) Chứng minh EM / / BN CH  BN H  BN   Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng 3) Từ C kẻ 4) Cho độ dài đoạn thẳng AB a P, Q thuộc cạnh AB, AD cho góc PCQ 450 Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 52 n −6 n+2 −12là số nguyên tố ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm)    x  1  x  3  x 1; x 2  x2 x2 A      x  x  x  3x   x  x   x 3   Cho biểu thức 3) Rút gọn A    x  1  x  3  x 1; x 2  x2 x2 A        x  x  x  x   x  x   x 3  x ( x  1)  x ( x  3)   x  1  x  3 x3  x    ( x  2)  x  x  1   x  1  x    x  3  x  x   x2  x  2 ( x  2)  x  x  1 4)  x2 x4  x2 1 Tìm giá trị lớn A x 1; x 2; x 3  A  Với 2x2 x2 *) x    A  ; x   A   4 x  x 1 x  x 1 x2  1 x2 Áp dụng bđt Co si cho số dương  x2 ; 1 x  2 x 2 x x x ta có 2  1 x2  1 A x2    x 1  x 1(tmdk ) x Dấu xảy x hay Max A   x 1 Vậy Bài (4,0 điểm) 3) Giải phương trình sau :  2x 2  x  13   x  x  12  4  x  x  13   x  x  12  2  x  x  13   x  5x  12  4  x  x  13  x  x  12    x  x  13   x  x  13  x  x  12    x  x  12  0    x  x  13   x  x  12   0   x  x  13  x  10 x  24  2 2 2 2 2 2 2 2 0   11x  11 0  x  4) Tìm cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn x  xy  2020 x  2021 y  2022 0 x  xy  2020 x  2021y  2022 0  x  xy  x  2021x  2021y  2021 1   x  2021  x  y  1 1  x  2021  Th1:    x  y    x 2020  x  2021 1 Th2 :     y  2022  x  y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x 2022   y  2022  x; y   2020;  2022  ;  2022;  2022  Bài (3,0 điểm) 3) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab  a  b  chia hết cho 48 Đặt A ab  a  b   a  1 (b  1) Vì a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên  a  2k  1 ; b  2k  1 k Z  2  A   2k  1  1   2k  1  1  4k  4k   4k  4k  4k  k  1 4k  k  1    16k  k  1  k  1 16 Mà A3 (do k-1, k, k+1 số tự nhiên liên tiếp ) Mà 3,16 có UCLN nên A chia hết cho 48 2 4) Với ba số thực x, y , z thỏa mãn x  y  z 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : T 507 xz  xy  yz T 507 xz  xy  yz  2T 507.2 xz  y  x  z     2T 507.2 xz  y  x  z   x  y  z   2T 506.2 xz  y( x  z )   x  z   y  2  2T 506.2 xz   x  z   y  x  z   y   2T 506.2 xz   x  z  y    1 *)  y 0y; ( x  z ) 0 x, z  xz   x  z    x  y  z    Từ (1) (2) suy 2T  506  x  z    x  z  y    2T  506  x  z  y    x  z  y    2T  506.8    2T  507.8  4056  T  2028  x  z  0   x 2; y 0; z  2    x  z  y  0    x  2; y 0; z 2  2 x  y  z   Dấu xảy  x 2; y 0; z  MinT  2028    x  2; y 0; z 2 Vậy Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE=CM E A B O M D H C N 5) Chứng minh OEM vng cân Ta có ABCD hình vng tâm O (GT) nên AC  BD O ; OA OB OC OD ABO OCB 45 (tính chất hình vng) Xét EBO MCO có : OB OC (cmt ), EBO OCM 45 , BE CM  gt   EBO MCO (c.g c )  EO OM (hai cạnh tương ứng) EOB MOC (hai góc tương ứng)  EOM EOB  BOM COM  MOB COB 90 EOM 90  cmt  Xét EOM có EO OM (cmt )  EOM cân O, mà  OEM vuông cân O (đpcm) 6) Chứng minh EM / / BN AM BM  MN MC (hệ định lý Talet) Ta có : Mà AB BC (do ABCD hình vng) BE CM ( gt )  AE BM AM AE    EM / / BN MN EB (Định lý Talet đảo) AB / / CN  7) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Kẻ OM cắt BN H’ Vì EM / / BN (cmt )  OME OH ' B (hai góc đồng vị) Mà OME 45  OH ' B 45 Xét OMC BMH ' có : OMC BMH ' (hai góc đối đỉnh)  OMC ∽ BMH '( g g )  OM MH ' OM MB    MB MC MH ' MC OCM MH ' B 45 OM MB OMB & CMH ' :   cmt  ; OMB CMH ' MH ' MC Xét (hai góc đối đỉnh)  OMB ∽ CMH '(c.g.c)  OBM MH ' C (hai góc tương ứng) Mà OBM 45  MH ' C 45 Ta có BH ' C CH ' M  MH ' B 45  45 90 Hay CH '  BN H ' mà CH  BN H nên H H '  O, M , H thẳng hàng (đpcm) 8) Cho độ dài đoạn thẳng AB a P, Q thuộc cạnh AB, AD cho góc PCQ 450 Vẽ hinh vuông BCE ' F , Trên tia BF lấy M’ cho BM’=DQ Dễ dàng chứng minh CQD CM ' B (c.g c )  DCQ BCM ' (hai góc tương ứng) CM ' CQ (hai cạnh tương ứng) DCQ  QCA 45    DCQ ACP  BCM ' ACP  ACP   QCA  45   Ta có : Ta có : M ' CP PCB  BCM '  ACB  ACP   BCM ' 45  ACP  BCM ' 45  QCP M ' CP (c.g c)  PQ PM ' (hai cạnh tương ứng) PAQP  AP  AQ  PQ  AP  AQ  PM '  AP  AQ  PB  BM '  AP  AQ  PB  QD  AP  PB    AQ  QD  2a (dfcm ) Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để 52 n −6 n+2 −12là số nguyên tố 2n Đặt A 5  n2  12 Ta có : 52 n Để A số nguyên tố n  n  3  n2  12 52.52 n n  3  12 1  2n  n  3 0  n 0  n 3  A 5  12 13 Th1:  số nguyên tố nên n 0;3 giá trị cần tìm Th : n  n  3  0; n  N , n  3, n  N Ta có A 52 n  n 2  12 25n  n 1  12  26  1 1 Nếu n lẻ n  3n  lẻ nên   n  n 1 1 Nếu n chẵn n  3n  lẻ nên    12 26.B    1 n  3n 1  12  n  n 1   A 26.B   12 2.13B  13 13  B  1 13  n 0  n 3 52 n −6 n+2 −12 Vậy  số nguyên tố n2  n 1 mà B   0n  3, n  N nên A hợp số ... nghiệm  x 2 022   y  2 022  x; y   2020;  2 022  ;  2 022;  2 022  Bài (3,0 điểm) 3) Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh : ab  a  b  chia hết cho 48 Đặt A ab...  506 .8    2T  507 .8  4056  T  20 28  x  z  0   x 2; y 0; z  2    x  z  y  0    x  2; y 0; z 2  2 x  y  z   Dấu xảy  x 2; y 0; z  MinT  20 28  ... 2 022 0 x  xy  2020 x  2021y  2 022 0  x  xy  x  2021x  2021y  2021 1   x  2021  x  y  1 1  x  2021  Th1:    x  y    x 2020  x  2021 1 Th2 :     y  2022