ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu (4,0 điểm) Chứng minh rằng: a) A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 1 1 B = + + + + AB + CD ⇒ AC + BD > a + c Chứng minh tương tự : Từ (1) (2) suy (1) AC + BD > AD + BC ⇒ AC + BD > d + b ( AC + BD ) > a + b + c + d ⇒ AC + BD > Xét Xét ∆ABC , ∆ADC , ta có: ta có: a+b+c+d (*) AC < a + b AC < d + c AC < a + b + c + d ⇒ AC < Suy : BD < Chứng minh tương tự: a+c+d +b a+c+d +b (**) (4) (3) (2) Từ Từ ( 3) ; ( ) ( *) AC + BD < a + b + c + d suy (**) suy a+c+d +b < AC + BD < a + b + c + d (dfcm) Câu a) Xét tứ giác · MAN = 900 ·AMI = 900 ·ANI = 900 Vậy tứ giác b) AMNI (vì (Vì (Vì AMIN ∆ABC có: ∆ABC IM IN vng A) AB ) vng góc với AC ) vng góc với hình chữ nhật (vì có góc vng) AI trung tuyến nên ∆AIC IN Do cân I, có đường cao đồng thời trung tuyến ⇒ NA = NC Mặt khác vng A, có AI = IC = BC : NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI hình bình hành (1) Mà AC ⊥ ID (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ADCI IH hình thoi BK c) Kẻ qua I đường thẳng song song với cắt CD H ⇒ IH ∆BKC đường trung bình ⇒H CK KH = HC trung điểm hay (3) NK / / IH ( IH / / BK ) N ∆DIH Xét có trung điểm DI, DK = KH (4) K DH Do trung điểm hay ( 3) , ( ) ⇒ DK = KH = HC ⇒ DK = DC Từ Câu Ta có: 2 1 a − b ÷ ≥ ⇒ a + b ≥ ab (1) 2 2 1 a − c ÷ ≥ ⇒ a + c ≥ ac (2) 2 2 1 a − d ÷ ≥ ⇒ a + d ≥ ad (3) 2 2 1 a − e ÷ ≥ ⇒ a + e ≥ ae (4) 2 ( 1) , ( ) , ( 3) , ( ) Ta cộng vế theo vế ta được: a + b + c + d + e2 ≥ ab + ac + ad + ae ⇔ a + b2 + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) ... x ) + ( 20 18 x + 20 18 x + 20 18 ) − ( x − 1) = x ( x + x + 1) + 20 18 ( x + x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x + 20 18 − x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2019 ) b) E = x2 − 8x + = x2... ( 216 + 1) C = ( 28 − 1) ( 28 + 1) ( 216 + 1) C = ( 216 − 1) ( 216 + 1) = 232 − C