ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu (4,0 điểm) Chứng minh rằng: 11 a) A 1 chia hết cho 40 1 1 B 1 2 100 b) Câu (4,0 điểm) 3 a) Cho a b c 0, chứng minh : a b c 3abc b) So sánh hai số sau: Câu (4,0 điểm) C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 32 D 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2019 x 2018 x 2019 b) Tìm giá trị nhỏ E 2 x x Câu (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N a) Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứ giác ADCI hình thoi DK DC c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh Câu (1,0 điểm) 2 2 Chứng minh rằng: a b c d e a b c d e ĐÁP ÁN Câu a) A 1 32 33 311 32 33 34 35 36 37 38 39 310 311 32 33 34. 32 33 38 32 33 40 34.40 38.40 40. 34 38 40 Vậy A40 b) 1 1 B 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 99 100 100 Vậy B Câu a) Ta có: a b c 0 a b c Mặt khác a b a3 b3 3ab a b c a b3 3ab c a b3 c 3abc (dfcm) b) C 1 22 1 24 1 28 1 216 1 1 C 1 1 2 1 24 1 28 1 216 1 C 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 C 24 1 24 1 28 1 216 1 C 28 1 28 1 216 1 C 216 1 216 1 232 32 32 Vì nên C D Câu a) x 2019 x 2018 x 2019 x x 2018 x 2018 x 2018 1 x x x x3 x 2018 x 2018 x 2018 x 1 x x x 1 2018 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2018 x 1 x x 1 x x 2019 b) E 2 x x 2 x x 2 x x Vậy giá trị nhỏ E x 2 Câu B a A d O b c C D Gọi O giao điểm hai đường chéo AC , BD tứ giác ABCD Đặt AB a, BC b, CD c, DA d Xét AOB, ta có: OA OB AB (quan hệ ba cạnh tam giác) Xét COD, ta có: OC OD CD (quan hệ ba cạnh tam giác) Suy : OA OB OC OD AB CD AC BD AB CD AC BD a c (1) Chứng minh tương tự : AC BD AD BC AC BD d b (2) Từ (1) (2) suy AC BD a b c d AC BD a b c d (*) Xét ABC , ta có: AC a b Xét ADC , ta có: AC d c a cd b (3) Suy : a c d b BD (**) (4) Chứng minh tương tự: Từ 3 ; suy AC BD a b c d AC a b c d AC Từ * (**) suy Câu a c d b AC BD a b c d (dfcm) D A N M B K H C I a) Xét tứ giác AMNI có: MAN 900 (vì ABC vng A) AMI 900 (Vì IM vng góc với AB) ANI 900 (Vì IN vng góc với AC ) Vậy tứ giác AMIN hình chữ nhật (vì có góc vng) AI IC BC b) ABC vng A, có AI trung tuyến nên Do AIC cân I, có đường cao IN đồng thời trung tuyến NA NC Mặt khác : NI ND (tính chất đối xứng) nên ADCI hình bình hành (1) (2) Mà AC ID Từ (1) (2) suy tứ giác ADCI hình thoi c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD H IH đường trung bình BKC H trung điểm CK hay KH HC (3) Xét DIH có N trung điểm DI, NK / / IH IH / / BK Do K trung điểm DH hay DK KH 3 , DK KH HC DK DC Từ (4) Câu Ta có: 1 a 2 b 0 a b ab (1) 1 a 2 c 0 a c ac (2) 2 1 a d 0 a d ad (3) 2 1 a 2 e 0 a e ae (4) Ta cộng 1 , , 3 , vế theo vế ta được: a b c d e ab ac ad ae a b c d e2 a b c d e