UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM THCS Năm học 2016 -2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ( Đề gồm có 01 trang) Bài 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức P x2 x x 1 x2 : x2 x x x x2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Bài 2: (4.0 điểm) 2 7(x 9) x3 x 3 a) Giải phương trình: x2 x2 x2 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A x3 y z 3xyz Bài 3: (4.0 điểm) a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a5 b5 c5 a b c chia hết cho 30 b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy 3x y 15 Bài 4: (6.0 điểm) Cho tam giác ABC phân giác AD Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx = BAC Cx cắt AD E ; I trung điểm DE Chứng minh : cho BCX a) b) c) d) ΔABD đồng dạng với ΔCED AE2 > AB.AC 4AB.AC = 4AI2 – DE2 Trung trực BC qua E Bài 5: (2.0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn : 1 Tìm giá trị 1 a 1 b 1 c lớn biểu thức Q = abc - Họ tên thí sinh: ………………………………… ; Số báo danh …………… Chú ý: Cán coi giao lưu khơng giải thích thêm UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN LỚP ( Đáp án gồm có 04 trang Câ u Nội dung Bài Câu a) ĐKXĐ x 0; x 1 P x x 1 : x (4đ x 1 x( x 1) ) x x 1 x( x 1) x 1 Điể m 0,25 0,5 x 1 x2 x 1 0,75 x2 1 1 P với x ĐKXĐ x 1 - HS tìm x = 1/2 1 Vậy P (TMĐK) x 2 Câu b) P 0,25 0,5 0,25 Câu c) P x2 x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P x 1 1 x 1 2 x 1 x 1 Vì x > nên x và ta có: x 1 x 1 0,5 > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x – x 1 2 x 1 Dấu “ = “ xẩy x – = x 1 x 1 2 x 1 0,25 ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = 0,25 2 Bài 7(x 9) x3 x3 6 Câu a) x x x 4 (4đ ) Điều kiện: x 2 x3 x 3 u, v , phương trình cho trở thành Đặt x2 x2 u 6v 7uv 0,25 u uv 6v 6uv u(u v) 6v(u v) (u v)(u 6v) 0,75 u = v u = 6v - Xét u = v ta có: x 3 x 3 x2 x2 x 3x 2x x 3x 2x 0,5 10x = x (TMĐK) x 3 x 3 x2 x2 2 x 3x 2x 6x 18x 12x 36 5x 35x 30 - Xét u = 6v ta có: x 7x x x 6x x(x 1) 6(x 1) (x 1)(x 6) x = (TMĐK) x = (TMĐK) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 0;1;6 0,5 Câu b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Học sinh phân tích A x y z 3xyz = (x+y)3- 3xy(x+y) +z3-3xyz = (x+y+z)3 - 3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z) = (x+y+z)[(x+y+z)2-3(x+y)z-3xy] = (x+y+z)(x2+y2+z2 -xy -yz -zx) 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài Câu a) Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a b5 c5 a b c chia hết cho 30 (4đ - Học sinh biến đổi ) a5 - a = (a -2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a-1)(a+1) 0,75 0,75 - Học sinh lập luận a - a chia hết cho 30 5 0,5 - Tương tự: b - b c -c chia hết cho 30 Kết luận Câu b) Giải phương trình nghiệm nguyên : x y xy 3x y 15 - Học sinh biến dạng (x +y +2)(x+2y+1) = 17 - HS lập luận (x +y +2) (x+2y+1) biểu thức nguyên xét bốn trường hợp HS tìm bốn nghiệm (x;y) = (30;-15); (-18;17); (12;-15); (-36;17) 0,75 0,25 1,0 Bài (6đ ) A B C D I E 1,5 a) Xét ABD CED có: BCE ( BAC ) BAD (đối đỉnh)=> ABD CED (g -g) ADB CDE b) Xét ABD AEC có: EAC ( BAC ) BAD ABD AEC ( ABD = CED) 1,0 0,5 => ABD AEC (g-g) 0,5 0,5 Vậy AE2 > AB.AC c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực BC qua E 0,5 +) ABE ADC 0,5 AB AE => => AB.AC = AD.AE < AE2 (AD < AE) AD AC DAC ; AB AD ( AD.AE = AB.AC) BAD AE AC => ABE ADC (c.g.c) => AEB ACB + ) BDE; ADC BDE ADC (đối đỉnh) ACD BED => BDE ADC (g-g) DAC BCE => DBE => BEC cân E 0,5 0,5 => Trung trực BC qua E Bài (2đ ) 1 1 1 1 a 1 b 1 c b c bc = 1 b 1 c (1 b)(1 c ) Ta có: 0,5 Tương tự: ac ab ; 2 2 1 b (1 a )(1 c ) c (1 a )(1 b) a 2b2c 8 (1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c) abc 8 (1 a)(1 b)(1 c) (1 a )(1 b)(1 c) => abc a b c Dấu "=" xảy 1 1 a b c a = b = c = 0,75 0,5 Vậy giá trị lớn Q a=b=c= 0,25 ...UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU LỚP 6,7 ,8 NĂM HỌC 2016- 2017 MƠN: TỐN LỚP ( Đáp án gồm có 04 trang Câ u Nội dung Bài Câu a) ĐKXĐ x 0;... AD.AE = AB.AC) BAD AE AC => ABE ADC (c.g.c) => AEB ACB + ) BDE; ADC BDE ADC (đối đỉnh) ACD BED => BDE ADC (g-g) DAC BCE => DBE => BEC cân E 0,5 0,5 => Trung... (g-g) 0,5 0,5 Vậy AE2 > AB.AC c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực BC qua E 0,5