UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) x2 x 2x2 A với x 0; x a) Rút gọn biểu thức : 2 x 8 x x x x x b) Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + y3 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x x b) Giải bất phương trình : 21 x x 10 y2 y y2 y y3 Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ b) Giải phương trình nghiệm nguyên dương : y x x Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Kẻ đường cao AH a) Chứng minh : AB BH AC CH b) Kẻ AD tia phân giác góc BAH ( D BH ) Chứng minh : DH DC BD.HC c) Gọi M trung điểm AB, E giao điểm hai đường thẳng MD AH Chứng minh CE // AD Câu 5: (1,0 điểm) Cho b a 2ab 3a 4b Tìm giá trị lớn biểu thức P a b HẾT Giám thị khơng giải thích thêm UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm 03 trang) Nội dung đáp án Phần Điểm x 2x 2x 1 2 2x 8 4x 2x x x x a) Ta có A a 2 x2 x x2 x x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) 0,25 x2 2x ( x 1)( x 2) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) 0,25 x3 x x x x x( x 4)( x 1) 2( x 4) x x ( x 4) x 1 x 1 Vậy A với x 0; x 2x 2x + Ta có x y ( x y ) xy + Do 10 xy xy 3 + Khi M x3 y ( x y )3 3xy ( x y ) + Tính M 23 3.( 3).2 26 Câu b Vậy M = 26 Chú ý : Nếu HS tính trực tiếp x y thay vào M tính cho điểm tối đa Ta có x x 10 ( x 2) 0x Phương trình trở thành : ( x x 6)( x x 10) 21 ( x x 2)( x x 2) 21 ( x x 8)2 25 a x2 x x x 5 x x (1) x x 13 (2) - Giải PT (1) nghiệm x1 1; x2 - Giải PT (2) vơ nghiệm x x 13 ( x 2)2 0x Câu Vậy tập nghiệm PT S {1;3} b) ĐK : y y2 4(1 y ) y y 2 y 0 y y2 y y3 1 (1 y y )(1 y ) y3 y2 y y ( y 1) y ( y 1) 0 0 0 3 1 y 1 y (1 y )(1 y y ) 3 y 3 y y (do y y 0) 1 y y2 y Vậy nghiệm bất phương trình cho y b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Gọi hai số phương liên tiếp a (a +1)2 ( a N ) + Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2(a + 1)2 = a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + 0,25 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + a Câu b = (a2 + a + 1)2 = [a(a + 1) + 1]2 0,25 + Do a nguyên nên a(a + 1) số chẵn a2 + a + số lẻ 0,25 + Vậy [a(a + 1) + 1]2 số phương lẻ Suy đpcm 0,25 Nếu y vế trái chia hết cho 9, ta chứng minh vế phải không chia hết cho + Thật giả sử x x x x x x x x x 1 ( x 1) ( x 1) (vì số nguyên tố) Suy x có dạng x 3k 1( k N ) + Khi x x (3k 1) 5(3k 1) 9k 9k không chia hết cho mâu thuẫn giả sử + Do y < Suy y {0;1} - Với y = x {2;3} - Với y = x {1; 4} + Vậy (x ; y) = (2; 0), (3; 0), (1; 1), (4; 1) N M B 0,25 0,25 0,25 A Hìn h vẽ 0,25 D H C 0,25 Câu E Chứng minh HAB a HCA( g g ) AH HB AB HC AH AC AB2 AH HB HB AC2 HC AH HC Chú ý : HS chứng minh AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC chia vế 0,25 0,25 0,25 DAC A1 90o 90o DAC ADC A ADC => ADC cân C + Chứng minh : A1 A2 => CA = CD b + Chứng minh DH AH (tính chất đường phân giác) DB AB 0,25 + Chứng minh AH CH CH (tam giác đồng dạng CA = CD) AB AC CD 0,25 + Suy c 0,25 DH CH DH DC BD.HC DB CD 0,25 + Dựng N điểm đối xứng D qua M => AN = BD 0,25 DH HE HE CH HE CH + Ta có : AN AE DH DH CH AE CD AH DH (cmt ) AN DB CD 0,25 + Suy HCE DAH HDA(c.g c) CEH + Mà hai góc vị trí SLT nên CE // AD 0,25 + Với b 3, b a P a b 25 0,25 2 0,25 Đẳng thức xảy a = 4; b = + Chứng minh bất đẳng thức (ax by ) (a b )( x y ) (1) 0,25 + Với b a a b Do (a b) a b Câu P a b (a b) 2ab a b 2ab a b (3a 4b) 4a 3b (2) 0,25 Áp dụng (1) ta có (3a 4b) (32 42 )(a b ) 25( a b ) (3) Từ (2) (3) suy (a b )2 25(a b ) a b 25 + Vậy Max(P) = 25 a = 4; b = 0,25 ...UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm... lẻ 0,25 + Vậy [a(a + 1) + 1]2 số phương lẻ Suy đpcm 0,25 Nếu y vế trái chia hết cho 9, ta chứng minh vế phải không chia hết cho + Thật giả sử x x x x x x x x x... trình trở thành : ( x x 6)( x x 10) 21 ( x x 2)( x x 2) 21 ( x x 8) 2 25 a x2 x x x 5 x x (1) x x 13 (2) - Giải PT (1) nghiệm