UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN: TỐN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm): x2 1 x4 x 2 x2 x x x 1 Cho biểu thức: M = a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M có giá trị số nguyên Câu (2,0 điểm): a) Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 3xy 10 y x y 30 Tính giá trị biểu thức P = x y b) Giải phương trình với ẩn số x: a b bx ax Câu (2,0 điểm): a) Tìm cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình: x3 + 2x2 + 3x + = y3 b) Cho số tự nhiên N = 20172016 Viết N thành tổng k (k N*) số tự nhiên n1; n2; ….;nk Đặt Sn = n13 + n23 + …+nk3 Tìm số dư phép chia Sn cho Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2 b) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF c) Trên đoạn HB, HC tương ứng lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định Câu (1,0điểm): a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y 28 x y b) Các số nguyên từ đến 10 xếp xung quanh đường tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh với cách xếp ln tồn ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn 17 -Hết ( Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN: TỐN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án a) ĐKXĐ : với x R x 1 2 x x x 1 M = = 1 x x 1 x2 0,25 ( x 1)( x 1) x x ( x +1-x2) 2 ( x x 1)( x 1) 0,5 x 1 x x 1 x = x 1 x 1 0,5 3 , M nguyên nguyên x 1 x 1 b) Biến đổi: M = - Điểm = k (kZ) k ≠ x 1 3 k Ta có kx2 + k = x2 = < k ≤ 3, mà kZ nên k{1 ; ; k 1(2,0đ) Đặt 0,25 3} + k = x = M = (thỏa mãn) + k = x M = -1(thỏa mãn) + k = x = M = -2 (thỏa mãn) Vậy x { ; 0,25 ; 0} 0,25 a) Ta có: x3 3xy 10 x xy 100 x x y x y 100 0,25 y x y 30 y x y 900 y x y x y 900 0,25 Suy ra: x x y x y y 1000 0,25 x y 1000 x y 10 0,25 (2Đ) a b bx ax 1 ĐKXĐ: x x b a b) Giải phương trình: (1) (1) a(1 – ax) = b(1 – bx) a – a2x = b – b2x a2x – b2x = a – b (a2 – b2)x = a – b + Nếu a2 – b2 phương trình(1) có nghiệm x= ab 2 a b a b 0,25 + Nếu a = b phương trình có dạng: 0x = phương trình 1 (1) có vơ số nghiệm x x b a 0,25 + Nếu a = -b = phương trình có dạng: 0x = phương trình (1) có vơ số nghiệm x 1 x b a 0,25 + Nếu a = -b phương trình có dạng: 0x = -2b phương trình (1) vơ nghiệm 0,25 a) Ta có y x x x x x y 4 3 2 9 15 ( x 2) y x x x 0 16 y x2 (1) (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x = Từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán (1 ; 2), (-1 ; 0) 0,25 0,25 0,25 (2 Đ) 0,25 b)Vì a3 – a = a(a – 1)(a + 1) nên chia hết cho với số nguyên a Đặt N = n1 + n2 + … + nk, ta có: S – N = (n13 + n23 + … + nk3) – (n1 + n2 + … + nk) = = (n13 - n1) + (n23 - n2) + … + (nk3 - nk) chia hết cho S N có số dư chia cho Mặt khác, 2017 chia cho dư 20172 chia cho dư N = 20172016 = (20172)1008 chia cho dư Vậy S chia cho dư 0,25 0,25 0,25 0,25 A E F H M I K B N D C O a) Chứng minh: BDH BEC BH.BE = BD.BC CDH CFB CH.CF = CD.CB 0,25 0,25 0,25 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm) 0,25 0,25 4(3 Đ) b) Chứng minh: AEF ABC AEF ABC CDE CAB CED CBA mà EB AC nên EB phân giác góc DEF AEF CED Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF góc DFE Vậy H giao đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Gọi O giao điểm đường trung trực đoạn thẳng MN OCN (1) HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) OHM OCH (2) Mặt khác ta có OCH cân O nên: OHC 0,25 OHB HO phân giác góc BHC Từ (1) (2) ta có: OHC Vậy O giao điểm đường trung trực HC phân giác góc 0,25 BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O 0,25 (1,0 Đ) a) P x2 y2 28 x y 28 1 x y x2 y2 x y x y 28 1 x y x x y y 1 x y x y 0,25 2 28 1 x y x y 1 x y x y x, y dương Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 28 28 7x x 28 x x 1 y y y y Lại có : (x – 2)2 ≥ ; (y – 1)2 ≥ ; x + y ≥ 0,25 suy : P ≥ 28 + + + + – = 24 Dấu ‘‘= ’’ xảy 28 x 7x 1 y y x x y 1 y 1 x y Vậy Pmin = 24 x = y = b) Giả sử 10 số xếp theo thứ tự tùy ý a,b,c,d,e,f,g,h,i,j Khi có 10 ba số theo thứ tự liên tiếp là: (a; b; c); (b; c; d); (c; d; e); (j; a; b) Mỗi số từ đến 10 xuất lần 10 số Suy tổng số S = (a + b + c) + (b + c + d) + + (j + a + b) 0,25 = 3(1 + + + + 10) = 165 Giả sử tất số có tổng nhỏ 16 thì: S ≤ 16 10 = 160 (mâu thuẫn) Vậy tồn có tổng lớn 17 (đpcm) 0,25 ... n2) + … + (nk3 - nk) chia hết cho S N có số dư chia cho Mặt khác, 2017 chia cho dư 20172 chia cho dư N = 201 72016 = (20172 )10 08 chia cho dư Vậy S chia cho dư 0,25 0,25 0,25 0,25 A E F H M I K... YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN: TỐN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án a) ĐKXĐ : với x R x 1... CDE CAB CED CBA mà EB AC nên EB phân giác góc DEF AEF CED Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF góc DFE Vậy H giao đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF