THÔNG TIN TÀI LIỆU
phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi olympic lớp Năm học 2016 - 2017 Đề thức Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút (không kể thời gian giao đề ) Bi 1: (5 điểm) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số nguyên tố 12n2 – 5n - 25 Giải phương trình: a) x3 + 9x3 + 11x – 21 = b) / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - Bài 2: (4 điểm) Tìm số nguyên dương x, y cho: x3 + y3 + 4(x2 + y2 ) + (x + y ) = 16xy x4 y Cho a, b, x, y thỏa mãn: a b a b x2 y2 x 2016 y 2016 Chứng minh rằng: 1008 1008 a b (a b)1008 Bài 3: (5 điểm) 27 12x x2 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P= 2 a 2b b 2c c 2a Bài 4: (5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác Đường thẳng qua P vng góc với CP, cắt CA CB theo thứ tự M N Chứng minh: a) Δ AMP ~ Δ APB AM AP b) BN BP c) BC.AP2 + AC.BP2 + AB.CP2= AB AC.BC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh ba số nguyên tố lớn ln tìm hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Hết -(Cán coi thi khơng giải thích thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu Câu ( điểm) Câu (4 điểm) Nội dung Điểm 1, A= 12n2 – 5n - 25 = (4n + 5)(3n-5) A số nguyên tố 4n + > -> 3n – > , 4n + > 3n – -> A số nguyên tố -> 3n – = -> n = Có A = 12.22 – 5.2 – 25 = 13 số nguyên tố 2, a/ x3 + 9x2 + 11x – 21 = ( x3-1) + ( 9x2 – 9) + ( 11x – 11) = ( x – 1)(x2 + x + 1) + 9(x+1)(x-1)+ 11(x-1)= ( x – )(x + ) ( x + ) = -> x = -3 -7 b/ / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - Do 2x - x2 – = - (x – ) Pt x2 - 2x + = 2x - x2 – x = 1) pt = ( x3 - 4x2+ 4x) + (y3 - 4y2+ 4y) + ( 8x2 + 8y2 -16xy) = x( x - 2)2 + y( y - 2)2 + 8(x – y)2 = (1) Do x( x - 2)2 , y( y - 2)2 0, 8(x – y)2 (2) Từ (1), (2) -> x = y = 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,5đ 1,5đ x4 y (1) 2) a b a b x y 1(2) 2 x4 y4 x y 2 Thay (1) = ( x y ) vào (1) có a b ab 0,5đ x2 y x2 y bx = ay -> a b ab ab 2 x 2016 y 2016 -> 1008 1008 a b (a b)1008 -> x 2016 y 2016 1008 1008 a b (a b)1008 0,5đ Câu ( điểm) 2 27 12x x 12x 36 ( x 9) ( x 6) 1 1) A = x2 x2 x 9 -> Min A = -1 x = 2) Có x y x y 2xy 2,0đ 0,5đ 0,5đ a b 2ab , b 2b 1 2 -> a 2b 2(ab b 1) -> 2 a 2b 2(ab b 1) Tương tự: 1 1 , 2 b 2c bc c 1 c 2a 2( ac a 1) Áp dụng ta có: P = 1,0đ 1 1 ab b bc c ac a 1 ab b ab b b ab ab b ab b 1 ( Do abc = 1) ab b -> Pmax a = b = c = Câu (5 điểm) 1,0đ a) AMP = Cˆ1 = 900 Aˆ Bˆ ˆA Bˆ = 1800 1800 Cˆ = 1800 Cˆ = 1800 900 2 Cˆ = 900 , Aˆ1 Aˆ 2 APB = 1800 - 2 0,5đ -> Δ AMP ~ Δ APB (g.g) b) Tương tự Δ APB ~ Δ PNB 1,5đ 0,5đ AM AP PN AM PN AP AM AP -> MP PB NB MP NB BP NB BP 1,5đ AM PN MP NB -> AM NB = PN MP = MP2 -> AM NB = CM2 – CP2 = (CA – AM )(CB – BN) – CP2 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2 -> AM.CB + BN.CA + CP2 = CA.CB -> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2 AB = AB.BC.CA (1) AM AP AM AB AP Từ Δ AMP ~ Δ APB -> (2) AP AB BN BP BN AB BP Tương tự (3) BP AB Từ (1), (2), (3) -> đpcm c) Δ AMP ~ Δ PNB -> Câu (1 điểm) Một số nguyên tố lớn chia cho 12 có số dư 1; 5; 7; 11 chia tập hợp số nguyên tố thành tập hợp A tập hợp số nguyên tố chia 12 dư 11, B tập hợp số nguyên tố chia 12 dư Vì có số ngun tố mà thuộc tập hợp A B Nên theo nguyên tắc đirichle phải có số thuộc tập hợp, số có tổng hiệu chia hết cho 12 *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác cho điểm 0,5đ 0,5đ 1,0đ ... Thay (1) = ( x y ) vào (1) có a b ab 0,5đ x2 y x2 y bx = ay -> a b ab ab 2 x 2016 y 2016 -> 10 08 10 08 a b (a b)10 08 -> x 2016 y 2016 10 08 10 08 a b (a b)10 08 0,5đ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2016- 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu Câu ( điểm) Câu (4 điểm) Nội... điểm) 1,0đ a) AMP = Cˆ1 = 900 Aˆ Bˆ ˆA Bˆ = 180 0 180 0 Cˆ = 180 0 Cˆ = 180 0 900 2 Cˆ = 900 , Aˆ1 Aˆ 2 APB = 180 0 - 2 0,5đ -> Δ AMP ~ Δ APB (g.g) b) Tương
Ngày đăng: 04/12/2022, 15:48
Xem thêm: