017 đề HSG toán 8 nam sơn 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu (4,0 điểm) Chứng minh rằng: a) A    32  33   311 chia hết cho 40 1 1 b) B      1 1002 Câu (4,0 điểm) a) Cho a  b  c  0, chứng minh : a3  b3  c3  3abc b) So sánh hai số sau: C    1  22  1 24  1 28  1 216  1 D  232 Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4  2019 x2  2018x  2019 b) Tìm giá trị nhỏ E  x2  8x  Câu (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB  AC  Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N a) Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứ giác ADCI hình thoi c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh DK  DC Câu (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e  ĐÁP ÁN Câu a) A    32  33   311  1   32  33    34  35  36  37    38  39  310  311   1   32  33   34.1   32  33   38.1   32  33   40  34.40  38.40  40.1  34  38  40 Vậy A 40 b) 1 1 B      1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1              1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 99 100 100 Vậy B  Câu a) Ta có: a  b  c   a  b  c Mặt khác  a  b   a3  b3  3ab  a  b    c   a  b3  3ab  c  a  b3  c3  3abc (dfcm) b) C    1  22  1 24  1 28  1 216  1   1 C    1  1  22  1 24  1 28  1 216  1 C   22  1 22  1 24  1 28  1 216  1 C   24  1 24  1 28  1 216  1 C   28  1 28  1 216  1 C   216  1 216  1  232  Vì 232   232 nên C  D Câu a) x  2019 x  2018 x  2019  x   x  2018 x   2018 x   2018  1  x3  x3   x  x3  x    2018 x  2018 x  2018    x3  1  x  x  x  1  2018  x  x  1   x  1  x  x  1   x  x  1 x  2018  x  1   x  x  1 x  x  2019  b) E  x2  8x   x2  8x     x     7  x  Vậy giá trị nhỏ E  7  x  Câu B a A d b O c C D Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD tứ giác ABCD Đặt AB  a, BC  b, CD  c, DA  d Xét AOB, ta có: OA  OB  AB (quan hệ ba cạnh tam giác) Xét COD, ta có: OC  OD  CD ( quan hệ ba cạnh tam giác) Suy : OA  OB  OC  OD  AB  CD  AC  BD  AB  CD  AC  BD  a  c (1) Chứng minh tương tự : AC  BD  AD  BC  AC  BD  d  b (2) Từ (1) (2) suy  AC  BD   a  b  c  d  AC  BD  abcd (*) Xét ABC , ta có: AC  a  b Xét ADC, ta có: AC  d  c acd b (3) acd b (**) (4) Chứng minh tương tự: BD  Từ  3 ;   suy AC  BD  a  b  c  d Suy : AC  a  b  c  d  AC  Từ * (**) suy acd b  AC  BD  a  b  c  d Câu D A N M B I a) Xét tứ giác AMNI có: K H C (dfcm) MAN  900 (vì ABC vng A) AMI  900 (Vì IM vng góc với AB) ANI  900 (Vì IN vng góc với AC ) Vậy tứ giác AMIN hình chữ nhật (vì có góc vng) b) ABC vng A, có AI trung tuyến nên AI  IC  BC Do AIC cân I, có đường cao IN đồng thời trung tuyến  NA  NC Mặt khác : NI  ND (tính chất đối xứng) nên ADCI hình bình hành (1) Mà AC  ID (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ADCI hình thoi c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD H  IH đường trung bình BKC  H trung điểm CK hay KH  HC (3) Xét DIH có N trung điểm DI, NK / / IH  IH / / BK  Do K trung điểm DH hay DK  KH Từ  3 ,    DK  KH  HC  DK  DC Câu Ta có: 2 1   a  b    a  b  ab (1) 2  2 1   a  c    a  c  ac (2) 2  2 1   a  d    a  d  ad (3) 2  2 1   a  e    a  e  ae (4) 2  Ta cộng 1 ,   ,  3 ,   vế theo vế ta được: (4) a  b  c  d  e2  ab  ac  ad  ae  a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e 