057 đề HSG toán 8 huyện 2016 2017

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Câu (2 điểm) a  4a  a  Cho P  a  7a  14a  a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức: P   x  1 x   x  3 x   có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu (2 điểm) 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A   3 bc a a c b a bc Câu (3 điểm) a) Giải phương trình: Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh: BC a) BD.CE  b) DM , EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Câu a) a3  4a  a    a  1 a  1 a   a3  7a  14a    a   a  1 a   Nêu ĐKXĐ: a  1; a  2; a  Rút gọn P  a 1 a2 b) a23 P 1 ; ta thấy P nguyên a  ước 3, mà a2 a2 U (3)  1;1; 3;3 , từ tìm a 1;3;5 Câu a) Gọi số phải tìm a b, ta có a  b chia hết cho Ta có: a3  b3   a  b   a  ab  b2    a  b   a  2ab  b2   3ab    a  b   a  b   3ab    Vì a  b chia hết  a  b   3ab chia hết cho Do  a  b   a  b   3ab  chia hết cho   b) P   x  1 x   x   x  3   x  5x   x  5x     x  5x   36 Ta thấy  x  x   nên P   x  x   36  36 2 x  Do dó MinP  36  x  x     x  5 Câu a) x  x  20   x   x   x  11x  30   x   x   x  13x  42   x   x   ĐKXĐ: x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành: 1    x   x  5  x  5 x    x   x    18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18  x    18  x     x   x     x  13   x  13 x      x  b) Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  từ suy a  yz xz x y ;b  ;c  ; 2 Thay vào ta A y  z x  z x  y  y x   x z   y z                  2x 2y 2z  x y   z x   z y   Từ suy A      hay A  Câu y A x E D 2 B C M a) Trong tam giác BDM ta có: D1  1200  M1 Vì M  600 nên ta có: M  1200  M1 Suy D1  M Chứng minh BMD CEM (1) BD CM , Từ BD.CE  BM CM  BM CE BC BC Vì BM  CM  , nên ta có: BD.CE  BD MD b) Từ (1) suy  CM EM Suy Chứng minh BMD MED  D1  D2 , DM tia phân giác BDE Chứng minh tương tự ta có : EM tia phân giác CED c) Gọi H , I , K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH  DI , EI  EK Tính chu vi tam giác 2AH - không đổi Câu Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy   x  y  z 1 x  y  z (2) Từ (2) suy z   x  y   xy, thay (1) vào ta có: z2   x  y   4 x  y  z  z2  4z   x  y   4 x  y  z2  4z    x  y   4 x  y    z  2   x  y  2 Suy z   x  y   z  x  y  4; thay vào 1 ta được: xy   x  y  x  y   xy  x  y  8  x   y    1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z là:  x; y; z  5;12;13; 12;5;13;  6;8;10; 8;6;10