ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP Bài (3đ) a) Phân tích đa thức x3 5x2 8x thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A 10 x2 x B x c) Cho x y xy Chứng minh rằng: 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài (3đ) Giải phương trình sau: a) x x x x 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN Bài a) x3 x x x3 x x x x x x x x x x 1 x b) A 10 x x 5x Xét B 2x 2x Với x A B x 3 2x Mà Ư 1;1; 7;7 x 5; 2;2;1thì A B x y x4 x y y c) Biến đổi y x3 y 1 x3 1 x y x y xy y y 1 x x 1 x y 1 y 1 x & x 1 y x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x 1 x y x y 1 xy x y xy x y x y xy x y x x y y x y x x 1 y y 1 xy x y 3 xy x y x y x y x y y x x y 2 xy xy x y 3 xy x y 3 2 x y Suy điều phải chứng minh x2 y Bài a) x x x x 12 Đặt y x x y y 12 y y y 12 y 6 y y y *x2 x 6 vơ nghiệm x2 x với x *x x x x x x x x x x x x 1 x 2; x b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x x x x x 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 1 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài E I B C O A D a) Ta có : ADE CDF c.g.c EDF cân D Mặt khác ADE CDF (c.g.c) BED CFD Mà BED DEF EFB 900 BFD DEF EFB 900 EDF 900 Vậy EDF vuông cân b) Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI EF Tương tự BI EF DI BI I thuộc đường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO Nên O, C, I thẳng hàng F Bài B D A C E a) Đặt AB AC a không đổi; AE BD x x a Áp dụng định lý Pytago với ADE vng A có: DE AD AE a x x x 2ax a x ax a 2 a a2 a2 2 x 2 2 Ta có DE nhỏ DE nhỏ x BD AE a a D, E trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 Ta có: S ADE AD AE AD. AB AD AD AB AD 2 1 AB AB AB 1 AB AB AB 2 AD AD AD 2 2 8 Vậy S BDEC S ABC S ADE AB AB AB khơng đổi 8 Do S BDEC AB D, E trung điểm AB, AC