021 đề HSG toán 8 nga sơn 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2017 Câu (4 điểm)   a  12  2a  4a  a  4a Cho biểu thức M    : a3   4a  3a   a  1 a) Rút gọn M b) Tìm a để M  c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x x x6 x8 a)    98 96 94 92 b) x  x   2) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm  x x  2 x  m    xm xm m2  x 3) Tìm a, b cho f ( x)  ax3  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x)  x  x  Câu (4 điểm) 1) Cho x  y  z  x3  y3  z  Tính A  x 2015  y 2015  z 2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ biểu 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    thức: P  2015  a 2016  b 2017  c ĐÁP ÁN Câu (2 điểm) a) Điều kiện: a  0; a    a  12  2a  4a  a  4a Ta có: M     : a3  a  1 4a  3a   a  1   a  12  2a  4a  4a     2 a  a  a  a  a  a        a  a    a  1    2a  4a  a  a   a  1  a  a  1 4a a 4 a  3a  3a    2a  4a  a  a  4a  a 4  a  1  a  a  1 a  4a 4a   a 1 a  a  b) M   4a   a  Kết hợp với điều kiện suy M  a  a  a     a  4a    a  2 4a  c) Ta có: M   1 a 4 a2  a 4 2  a    với a nên   a    với a Vì a 4 a2  a  2  0a2 Dấu "  " xảy a 4 Vậy MaxM  1khi a  Câu 1) a) Ta có: x2 x4 x6 x8    98 96 94 92  x2   x4   x6   x8    1    1    1    1  98   96   94   92  1     x  100      0  98 96 94 92  1 1 Vì    0 98 96 94 92 Do đó: x  100   x  100 Vậy phương trình có nghiệm : x  100 b) Ta có: x  x3     x3  1 x3      x  1  x  x  1  x    x  x    * 1  Do x  x    x     x2  x    x  1   với x 2  Nên *   x  1 x     x 1;2  x x  2 x  m    (1) xm xm m2  x ĐKXĐ: x  m  x  m   x  m  1  x  x  m    x   x  m     x  m  2)   2m  1 x  m  * 3 ta có: *  x  (vơ nghiệm) 2 m2 +Nếu m  ta có *  x  2m  - Xét x  m m2   m  m   2m  m 2m  +Nếu 2m    m  1   2m  2m    m  m     m     2  (Không xảy vế trái ln dương) Xét x  m m2   m  m   2m2  m 2m   m2   m  1 Vậy phương trình vơ nghiệm m  m  1 3) Ta có: g ( x)  x  x    x  1 x   2 Vì f ( x)  ax3  bx  10 x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Nên tồn đa thức q( x) cho f ( x)  g ( x).q( x)  ax3  bx  10 x    x  . x  1 q( x) Với x   a  b    b  a  1 Với x  2  2a  b    2 Thay 1 vào   ta có: a  4 b  2 Câu 1) Từ x  y  z    x  y  z   Mà x3  y3  z    x  y  z   x3  y  z    x  y  z   z   x3  y     x  y  z  z   x  y  z    x  y  z  z  z    x  y   x  xy  y       x  y   x  y  z  xy  yz  xz  xz  yz  z  z  x  xy  y     x  y   3z  3xy  yz  xz     x  y   y  z  x  z   x  y  x   y   y  z    y  z    x  z   x   z * Nếu x   y  z   A  x2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  2) Gọi x  km  độ dài quãng đường AB ĐK: x  x Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: (giờ) 30 Quãng đường sau giờ: 30(km) Quãng đường lại : x  30  km  x  30 Thời gian quãng đường lại: (giờ) 40 x x  30 1  Theo ta có phương trình: 30 40  x  30.5  3. x  30   x  60 (thỏa mãn) Vậy quãng đường AB 60km Câu E A B M O D H' H C N a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB  OC Và B1  C1  450 BE  CM  gt  Suy OEM  OMC (c.g.c)  OE  OM O1  O3 Lại có: O2  O3  BOC  900 tứ giác ABCD hình vng  O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE  OM  OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng  AB  CD AB / /CD AM BM  AB / /CD  AB / /CN   (định lý Ta-let) * MN MC Mà BE  CM  gt  AB  CD  AE  BM thay vào * AM AE   ME / / BN (theo Định lý Talet đảo) Ta có: MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN Từ ME / / BN  OME  MH ' B Mà OME  450 OEM vng cân O  MH ' B  450  C1  OMC BMH '  g.g  OM MC  , kết hợp OMB  CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH  OMB CMH '(c.g.c)  OBM  MH 'C  450  Vậy BH 'C  BH ' M  MH 'C  900  CH '  BN Mà CH  BN  H  BN   H  H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu Ta có: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c  P   2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031    2015  a 2016  b 2017  c Đặt 2015  a  x 2016  b  y 2017  c  z b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z          x y z x y z x z y P y x z x y z 2 2 6 (Co  si ) x y x z z y Dấu "  " xảy x  y  z suy a  673, b  672, c  671 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a  673, b  672, c  671 2