Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C.. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.[r]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) (Đề gồm 01 trang) Đề thức Bài 1: (4,0 điểm) a) So sánh: √ 17+ √ 26+1 √ 99 1 1 10 99 100 b) Chứng minh: c) Cho S 1 S P 1 1 1 1 1 P 2013 2014 2015 1008 1009 1010 2014 2015 2016 Tính Bài 2: (4,0 điểm) a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm hợp số r b) Tìm số tự nhiên ab cho ab (a b) Bài 3: (6,0 điểm) z x B y x a) Cho x; y; z x – y – z = Tính giá trị biểu thức y z 3x y z x y 3z x y z Chứng minh rằng: b) Cho c) Cho biểu thức M 5 x x Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ Bài 4: (3,0 điểm) Cho xAy 60 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az C Kẻ BH Ay H, CM Ay M, BK AC K Chứng minh: a) KC = KA AC BH = b) c) ΔKMC µ µ Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có B 2.C < 900 Vẽ AH vng góc với BC H Trên tia AB lấy điểm D cho AD = HC Chứng minh đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC Ghi chú: Học sinh không sử dụng loại máy tính Họ tên thí sinh: SBD: Họ tên chữ ký giám thị 1: Họ tên chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN – NĂM HỌC 2015 – 2016 Câu Nội dung So sánh: √ 17+ √ 26+1 √ 99 a) Bài1: (4,0 điểm) b) Ta có: 17 16; 26 25 => √ 17+ √ 26+1 > 16 25 1 4 1 10 Mà 10 = 100 99 Vậy: √ 17+ √ 26+1 > √ 99 0,5đ 1 1 10 99 100 Chứng minh: 1 1 1 1 ; ; ; ; 100 100 100 99 100 Ta có: 1,0đ 0,5đ 1 1 100 10 100 100 Suy ra: 1 1 + + + + > 10 Vậy: √1 √ √ √ 100 0,5đ 1 1 1 2013 2014 2015 Cho 1 1 2016 P 1008 1009 1010 2014 2015 Tính S P 2,0đ S 1 1 1 P 1008 1009 1010 2014 2015 Ta có: 1 1 1 c) 1006 1007 1008 2014 2015 1 1 1006 1007 1 1 1 1 1 1 1006 1007 1008 2014 2015 2012 2014 1 1 1 1 2013 2014 2015 = S S P Do Bài 2: (4,0 điểm) Điểm 1,0đ 0,5đ 2016 =0 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm hợp số r Vì p chia cho 42 có số dư r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên) Hay p = 2.3.7k + r a) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; => r hợp số không chia hết cho 2; 3; r < 42 Học sinh r = 25 Tìm số tự nhiên ab cho ab (a b) 1,0đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Vậy hợp số r = 25 b) 0,5đ Ta có: (a + b)3 = ab số phương nên a + b số phương 2,0đ 0,5đ * Đặt a + b = x2 (x N ) Suy ra: ab (a b) = x6 * => x3 = ab < 100 ab > => < x3 < 100 => < x < => x = 3; x N 1,0đ - Nếu x = => ab ( a b) = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = (nhận) - Nếu x = => ab ( a b) = 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000 0,5đ => x = (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 z x B y x Cho x; y; z x–y–z = Tính giá trị biểu thức z x y x z y x zy B a) Ta có: y z x y z x y z Bài 3: (6,0 điểm) Từ: x – y – z = => x – z = y; y – x = – z y + z = x y z x 1( x; y; z 0) x y z Suy ra: B = 3x y z x y z x y z Chứng minh rằng: Cho 3x y z x y z 4(3x y ) 3(2 z x) 2(4 y 3z ) 16 Ta có: 2,0đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: b) 4(3x y ) 3(2 z x) 2(4 y 3z ) 4(3 x y) 3(2 z x) 2(4 y 3z ) 0 16 16 4(3x y ) x y 3(2 z x) x z 0 x 2 y (1) 0 z 4 x 16 (2) => x y z Từ (1) (2) suy ra: 5 x M x Tìm x nguyên để M nhỏ Cho biểu thức 0,75đ 2,0đ x ( x 2) ( x 2) x x x 0,5đ M nhỏ x nhỏ x – lớn x – < 1,0đ Khi GTNN M là: M = x = 0,5đ Ta có: c) 0,75đ M Bài 4: (3,0 điểm) x lớn x < x = (vì x nguyên) Chứng minh: KC = KA 1,0đ · · · Ta có yAz zAx = 300 (Az tia phân giác xAy ) ·yAz ACB · 0,5đ a) Mà: (Ay // BC, so le trong) · · zAx ACB V ABC cân B Trong tam giác cân ABC có BK đường cao ứng với cạnh đáy BK đường trung tuyến ABC KC = KA AC Chứng minh: BH = ·ABH 900 xAy · 300 b) 1,0đ Ta có: (ABH vng H) Xét hai tam giác vng ABH BAK, có: · · AB: Cạnh chung; zAx ABH ( 30 ) ABH = BAK BH = AK 0,25đ 0,5đ AC AC (cmt ) BH Mà: AK = Chứng minh: ΔKMC 0,25đ 1,0đ Ta có: AMC vng M có MK trung tuyến ứng với cạnh huyền KM = AC/2 (1) c) Mà: AK = KC = AC/2 (2) Từ (1) (2) => KM = KC => KMC cân K (3) Bài 5: (3,0 điểm) 0,5đ 0,5đ · 0 0 · · Mặt khác: AMC có AMC 90 ; yAz=30 MCK 90 30 60 (4) Từ (3) (4) AMC 0,5đ Chứng minh đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC 3,0đ µ µ µ µ Ta có: B 2.C B C nên AC > AB => HC > HB Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I cho IH = HB => AHI = AHB · · · => AI = AB AIB ABC 2 ACB · · · · · Mặt khác: AIB ACB IAC IAC ACB Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD Gọi K giao điểm DH với AC Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => DBH cân B 1· · · · BDH BHD ABC ACB Do đó: · · · · · Suy ra: KHC ACB (BHD) KAH KHA (phụ hai góc nhau) Suy ra: KA = KH = KC hay K trung điểm AC Vậy đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC 0,25đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,75đ Ghi chú: - Mọi cách giải khác đúng, lý luận phù hợp ghi điểm tối đa - Điểm thi làm tròn đến chữ số thập phân thứ ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN – NĂM HỌC 2015 – 2016 Câu Nội dung So sánh: √ 17+ √ 26+1 √ 99 a) Bài1: (4,0 điểm) b) Ta có: 17... 100 100 Suy ra: 1 1 + + + + > 10 Vậy: √1 √ √ √ 100 0,5đ 1 1 1 2013 2014 2015 Cho 1 1 2016 P 1008 1009 1010 2014 2015 Tính S P 2,0đ S 1 1 1 P 1008 1009... 2014 1 1 1 1 2013 2014 2015 = S S P Do Bài 2: (4,0 điểm) Điểm 1,0đ 0,5đ 2016 =0 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm hợp số r Vì p chia cho 42 có số dư