TRƯỜNG THCS BẠCH SAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học: 2016-2017 Bài (2 điểm) x 2x Cho biểu thức : C : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên Bài (2 điểm) a) Tìm số nguyên a b để đa thức A x x 3x3 ax b chia hết cho đa thức B x x 3x b) Cho x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y z yz zx x y Câu (2 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: x2 y z 18x z y 20 a b c x2 y z x y z b) Cho Chứng minh rằng: x y z a b c a b c Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC AB), đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C , vẽ hình vng AHKE Gọi P giao điểm AC KE a) Chứng minh ABP vuông cân b) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh H , I , E thẳng hàng c) Tứ giác HEKQ hình ? Câu (1 điểm) Tính diện tích hình thang ABCD AB / /CD , biết AB 42cm, A 450 ; B 600 , chiều cao hình thang 18cm ĐÁP ÁN Câu 1 2 x 2x C : 2 1 x x 1 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 2x 1 x 1 x a) ĐKXĐ: x 1; x 2 2x b) B có giá trị nguyên x số nguyên 2 có giá trị ngun 2x x 1(ktm) x 0(tm) 2 x x 1 x Ư(2) x (tm) 2 x 2 x 1 (tm) x 2 x Đối chiếu ĐK có x thỏa mãn x Câu a) Ta có: A( x) B x . x 1 a 3 x b a a Để A( x) B( x) b b 4 b) Đặt y z a; z x b; x y c x y z x a b c a bc abc ;y ;z 2 abc a b c a b c a b c 2a 2b 2c 1 b c a c a b 1 2 a a b b c c b a c a b c 3 a b a c c b P MinP abc x y z Câu a) x y z 18 x z y 20 x 18 x y y z z 1 x 1 y 3 z 1 * 2 Do: x 1 0; y 3 0; z 1 2 Nên : * x 1; y 3; z 1 Vậy x, y, z 1;3; 1 b) Từ: a b c ayz bxz cxy 0 ayz bxz cxy x y z xyz Ta có: x y z x y z 1 1 a b c a b c x2 y z xy xz yz 2. 1 a b c ab ac bc x2 y z cxy bxz ayz 1 a b c abc x2 y z 1 dfcm a b c Câu A E P I B H K C Q a) Chứng minh được: BHA PEA( g.c.g ) AB AP mà BAP 900 ( gt ) BPA vng cân b) Ta có: HA HK H nằm đường trung trực AK Ta có: AE KE E nằm dường trung trực KA PBK vng có IB IP (tính chất đường chéo hình bình hành ABQP) IK IP IB * Ta có ABQP hình bình hành (giả thiết), có BA AP ( BPA vng cân A) APQB hình thoi, mà BAP 900 gt APQB hình vuông nên PI IA ** Từ *** suy IK IA nên I nằm đường trung trực AK Vậy H , I , E thẳng hàng c) Ta có: APQB hình vng cmt nên AP BQ mà IK AKQ có AI IQ (tính chất đường chéo hình vng) PB AQ IK 2 AQ (cmt ) AKQ vuông K AK KQ mà AK HE (EAHK hình vng) QK / / HE Mà IK Vậy HEKQ hình thang Câu A' D C A B' B Qua A B kẻ AA ' BB ' vng góc với CD Tứ giác ABB ' A ' hình chữ nhật AA ' BB ' 18cm, A ' AB 900 DAB 450 A ' AD 450 Do A ' AD vng cân A' D A' A 18cm B ' BA 900 , CBA 600 B ' BC 300 tam giác vng B ' BC ta có B ' C BC Theo định lý Pytago ta có: B ' C BC B ' B B 'C 4B 'C B ' B2 3B ' C B ' B B ' B 18 B 'C (cm) 3 Suy : CD A ' B ' A ' D B ' C 42 18 Vậy S ABCD 18 18 24 (cm) 3 1 18 AB CD .A ' A 42 24 .18 498,6 cm2 2 3