005 đề HSG toán 8 hoằng hóa 2016 2017

4,5 điểm Cho tam giác nhọn ABC.. Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H.. 2,0 điểmCho tam giác ABC.Trên tia đối của các tia BA CA lấy theo thứ tự các , điểm ,D E sao cho BDCEBC.Gọi O l

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu 1 (4 điểm)

Cho biểu thức 2 2 1 1 : 1

     

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P có giá trị nguyên

c) Tìm x để P1

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Giải phương trình: x36x x 300

b) Giải bất phương trình sau: 1 1 2 3 1

c) Cho biết 2 2

1 3

x

  Hãy tính giá trị của biểu thức:

2

4 2

1

x Q



 

Câu 3 (5,0 điểm)

a) Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy2y2x 2 0

b) Cho a b c, ,  , thỏa mãn a  b c 0.Chứng minh a5 b5 c5 30

c) Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1

             

       , trong đó , ,

a b c là các số thực không nhỏ hơn 1

Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H , , Chứng minh rằng:

a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b) BH BE CH CF BC2

c)

2

4

BC

AD HD

d) Gọi , , ,I K Q R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB AD ,,

,

CF BC Chứng minh bốn điểm , , , I K Q R cùng nằm trên một đường thẳng

Câu 5 (2,0 điểm)Cho tam giác ABC.Trên tia đối của các tia BA CA lấy theo thứ tự các , điểm ,D E sao cho BDCEBC.Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường

thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh

ABCK

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ĐKXĐ: x0;x 1

Ta có:



Vậy 2

1

x P

x



 b) Ta có: 2 2 1

1

x

Từ đó suy ra x2;0;3; 1 

Kết hợp với ĐKXĐ được x 2;3

P



Mà x  1 x 1 nên x 1 0 và x   1 0 x 1và x 1

Kết hợp với ĐKXĐ được 1  x 1 và x0

Câu 2

a) Ta có: 3 2    

x  x  x   x x x 

       

b)

7

4



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là / 7

4

S x x  

c) Từ 2 2 0,

1 3

x

x

  do đó :

2

1 3 2

x

   2

             

Lại có:

4 2

4

x x

        

Suy ra

2

4 2

4

1 21

x Q

 

Câu 3

a)

2 2

Do  2

5x4y1 0và  2

9 y1 0với mọi ,x y

Nên  2  2

5x4y1 9 y1 0

Suy ra x1;y 1

b)

Ta có: 5  2  2   2  2 

a  a a a  a  a a  a  

a 2a 1  a a 1a 2 5 a 1  a a 1

Do a2a1 a a1a2là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2;3;5,

do đó chia hết cho 30

Lại có a1 a a1chia hết cho 6 nên 5a1 a a1chia hết cho 30

Từ đó suy ra a5achia hết cho 30

Tương tự 5

b bchia hết cho 30 và c5 cchia hết cho 30

Từ đó suy ra  5 5 5    5   5   5 

a b c  a b c  a a  b b  c c chia hết cho 30

Mà a  b c 0nên a5 b5 c5chía hết cho 30

)

             

2 a b b c c a 2abc a b c 2 a b c 2 ab bc ca

          (đúng với mọi , ,a b c1)

Câu 4

a) Ta có: AEB AFC g g( ) AE AB

Từ đó suy ra AEF ABC c g c 

b) BDH BEC g g( ) BD BH BH BE BC BD (1)

Từ (1) và (2) suy ra BH BE CH CF BC BD BC CD BC2

c) Chứng minh được DBH DAC g g( ) DH DB DH DA DC DB

R

K

Q

I

F

D

E A

Do đó:

2

4

BC

AD HD

d) Từ giả thiết suy ra EI / /CF EK, / /BC EQ, / /AB ER, / /AD

Áp dụng định lý Talet ta có:

IK DF

IR DF

RQ DF

Từ      3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm , , ,I K Q Rthẳng hàng

Câu 5

Vẽ hình bình hành ABMCABCM 1

Ta có: 1 1 1 1

B  C  CMB nên BO là tia phân giác của CBM

Tương tự CO là tia phân giác của BCM

Do đó MO là tia phân giác của BMC

Suy ra OM song song với tia phân giác của A, suy ra K O M thẳng hàng , ,

1 1

1 1

M

K

O

E

D

A

Ta có: 1 1 1 1

M  BMC BACK

Nên tam giác KMC cân tại CCKCM (2)

Từ (1) và (2) suy ra CK  AB