PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC: 2014 -2015 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi có 06 bài, gồm 01 trang ) 6x : ( x 2) x x x x 1 Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: Q a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q = c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 2x 2x 6x 9x 1 2x 2x (2 x 1)(2 x 7) b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 2x2 – x +2 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x2 = y2 + 2y + 13 Bài 3: (4,0 điểm) ab bc ca a) Cho abc ≠ Chứng minh a = b = c b c a b) Cho sè tù nhiªn n Chøng minh r»ng nÕu 2n 10a b (a, b N , b 10) th× tÝch ab chia hÕt cho Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH.DA HD HE HF b) Chứng minh rằng: AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M, N, P, Q, I, K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có AB = AC =b ; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b b a ( a b) Bµi 6: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 2 1 b 1 c 1 a Hết Họ tên thí sinh :…………………… Giám thị số :……………………… Số báo danh : …………………… Giám thị số 2: ……………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Nội dung cần đạt Bài Bài (4,5đ) a) Đk: x 1; x 2 x2 x x x ( x 2)( x 1) Q x 1 x ( x 1)( x 2)( x x 1) x x 1 x x ( x 1)( x 2) x x 1 Suy x = -1 x = So sánh với điều kiện suy x = Q = 1 3 c) Q ; Vì > 0; x – x + = x 2 4 x x 1 Q đạt GTLN x2 x đạt GTNN x x 4 x= (t/m) Lúc Q = Vậy GTLN Q Q = x= b) Bài (4,5đ) 1,5 0,5 1 7 ;x 2 x 3 (2 x 7) x x 1 x x 1 x x x 1 (2 x 7) x x 1 x x 1 x x 1 a) ĐK: x Thang điểm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 20 x 21 x 12 x x 16 x x x x x 1 x x 1 x 16 2 x x 16 x x 1 x x 1 0,5 x x 16 2 x x 16 x x x(2 x 1) x (Lo¹i) 0,5 2 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta có x3 – 2x2 – x + = (x3-2x2)-(x-2)=x2(x- 2)-(x-2) =(x-2)(x2-1) = (x-2)(x-1)(x+1) 2 c)Ta có x = y + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 Do x + y + – (x - y – 1) = 2y + số chẵn x , y N* nên x + y + > x – y – Do x + y + x – y – hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp: x + y + = x – y – = x = y = Vậy (x; y) = (4; 1) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (4,0đ) ab bc ca 1 1 a b c b c a b c a Do đó: 1 bc 1 ca 1 ab ; bc ; ca ab c b bc a c ac b a ab (a b)(b c)(c a) Suy ra: (a – b)(b – c)(c – a) = a b 2c (a – b)(b – c)(c – a)(a2b2c2 - 1) = (a - b)(b – c)(c – a) = (do abc ≠ 1) Suy a = b = c a) Từ b) Ta có 2n 10a b b ab (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta chứng minh ab (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n 10a b 2n có chữ số tận b Đặt n 4k r (k, r N, r 3) ta có: 2n 16k2r Nếu r 2n 16k tận b ab Nếu r 2n 2r 2r(16k 1) 10 2n tận 2r suy b 2r 10a 2n 2r 2r(16k 1) a ab Từ (1) (2) suy ab Bài (5,0đ) 0,5 0,5 0,5 A E F H C B D a) Chỉ BDH ADC (g.g) BD DH AD DC BD.DC = DH.DA SHBC HD.BC HD b) Ta có: SABC AD.BC AD HE SHAC HF SHAB Tương tự: ; BE SABC CF SABC HD HE HF SHBC SHAC SHAB SABC Do 1 AD BE CF SABC SABC 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c) Chứng minh AEF ABC (c.g.c) AEF ABC Tương tự DEC ABC Do đó: AEF DEC Mà AEF HEF DEC HED = 900 nên HEF HED EH phân giác góc DEF Tương tự FH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) 0,25 0,25 0,25 0,25 A E Q P N F K H I C B D M Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM = BC (trung tuyến ứng với cạnh huyền) Tương tự : FM = BC Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ EF MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài (1,0đ) A H D C B Vẽ BH đường cao tam giác ABC Tam giác BAD cân B (BA=BD) có BH đường cao nên đường trung tuyến AH AD 0,5 0,5 Tam giác ABC có BD đường phân giác , ta có : DA AB b DA DC DA DC AC b b2 DA DC BC a b a a b a b a b a b 0,25 Tam giác HAB vng H , theo đ/lý Pytago ta có : AB BH AH BH b AD (1) 0,25 Tam giác HBC vuông H , theo đ/lý Pytago, ta có BC BH HC BH BC ( AC AH )2 a (b AD BH a b b AD 2 AD ) (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có : AD AD 2 b a b b AD b a b AD b 4 ab a b b 1 b (b a)(b a) ab ab ( a b) b a ( a b) 2 Bài (1,0đ) 0,25 Vậy toán c/m Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên a ab2 ab ab a a a 2 1 b 1 b 2b 0,25 b bc c ca ; b c c2 1 a2 a b c ab bc ca mà a + b + c = nên (1) 0,25 b2 c2 a 2 Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) 0,25 a b c 3 Từ (1) (2) suy đpcm b2 c2 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = 0,25 Ghi chú: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm Tương tự ta có : ...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Nội dung cần đạt Bài Bài (4,5đ) a) Đk:... ab a b b 1 b (b a)(b a) ab ab ( a b) b a ( a b) 2 Bài (1,0đ) 0,25 Vậy toán c/m Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên a ab2 ab ab a a a 2 1 b 1 b 2b 0,25 b bc c ca ;