ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2013-2014 (Thời gian: 150 phút) Bài (3 điểm) Rút gọn biểu thức : A 1 1 a a a 3a a 5a a 7a 12 a 9a 20 Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x 2008 x 2010 4 2 b) x x x Bài (3 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: B 3x x 10 x2 x Bài (3 điểm) Giải bất phương trình: a 1 x ax 1 a a a 0 Bài (7 điểm) Cho tam giác ABC (cân A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm cặp tam giác vng đồng dạng ? Giải thích ? b) Cho AH 10cm, BK 12cm Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC c) Gọi I giao điểm AH BK, tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác BCI tam giác ? ĐÁP ÁN Bài Điều kiện: a 0; a 1; a 2; a 3; a 4; a 5 1 1 A a a a 3a a 5a a 7a 12 a 9a 20 1 1 a a 1 a 1 a a a 3 a 3 a a a 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 a a a a a a a 1 a4 a a a a 5 Bài 4 a) x 2008 x 2010 (I) Đặt y x 2009 ta có: I y 1 y 1 y 12 y y2 y2 6 y x 2009 x 2009 b) x x x (II) (ktm) +Nếu x ta có II 2 x x +Nếu x ta có: II 0.x , Phương trình nghiệm với x +Nếu x ta có: II 4 x 8 x (thỏa mãn) +Nếu x ta có: II x 10 x (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình II x x Bài 3x x 10 1 3 3 Ta có: B 2 x 2x x 2x x 1 Mà x 1 2 3 2 Vậy giá trị lớn B x 1 Bài a 1 x ax 1 a a a 0 III Với a ta có III a x * a a 2 a a a 2 * x với x a 2 2 a 2 * x a a 2 Bài * x A K I H B C a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng : ABH ACH (Vì có BAH CAH ) BCK (vì có ABH BCK ) BCK (vì đồng dạng với ABH ) AB AH 10 b) Từ ABH BCK BC BK 12 AB BH AB (H chân đường cao, trung tuyến) BH ABH ACH Ta lại có: AB2 BH AH (Định lý Pytago) 3 AB AB 102 AB 12,5cm 5 AC AB 12,5cm ; BC 15cm c) Chỉ BIC cân I BIC cân I trở thành tam giác IBC 600 Mà IBC HAB HAB 600 BAC 1200 Vậy để BIC tam giác ABC phải cân A A 1200