Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.. a Chứng minh CE vuông góc với DF.. Câu 5: 4 điểm Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng.. Nếu cả hai máy cùng làm việc thì sa
Trang 1Phßng GD & §T ThuËn An
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2009-2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
A=
12 12
36
6
1 6 6
1 6
2
2 2
2
x
x x x
x x x
x
( Với x 0 ; x 6 ) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với 1
19 24 5
x
Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình:
x x x x x x x x
Câu 3: ( 6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 - (2x + 3)(x + 5) + 3
b) x20 + x +1
c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4
Câu 4 (8 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF
a) Chứng minh CE vuông góc với DF
b) Chứng minh CM CE. a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA Chứng minh MAD cân
d) Tính diện tích MDC theo a
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng Nếu cả hai máy
cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Hết
-Phòng GD –ĐT Thuận An
Trang 2KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2009-2010
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút
áp án
Đáp án
Câu 1: ( 4 điểm ) Cho biểu thức:
6
1 6 6
1 6
2
2 2
2
x
x x x
x x x
x
( Với x 0 ; x 6 ) 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A với x = 1
19 24 5 Giải 1) ( 1 điểm ) ĐK: x 0; x 6 )
A = .(12(6)( 1)6)
) 6 (
1 6 ) 6
(
1
6
2
x
x x x
x
x x
x
x
=
2
12( 1)
x x x x x x
= 12(x x 1).12(x12 1) 1x
2
2) A=
19 24 5 1
19 24 5
3
1
Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình:
x x x x x x x x
ĐK : x{2;3;4;5;6}
Phương trình tương đương
( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 8
8( 6) 8( 2) ( 2)( 6)
8( 2)( 6) 8( 2)( 6)
x x
0,5 0,5 0,5
0,5
Trang 3M
F E
C
B A
D
2
2
8 20 0
( 2)( 10) 0
x x
x x
x x
x 2 hoac x 10 (thỏa điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình là x=-2;x=10
0,5 0,5
Bài 3.(6điểm)
a) x2 - (2x + 3)(x + 5) +3= x2 - 2x2-13x-15 +3 = -x2-13x -12
=-(x2+x+12x+12)=-[x(x+1)+12(x+1)]=-(x+1)(x+12)
b) x20 + x +1 =x20-x2+x2+x+1 =x2(x18-1) +(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1)
=(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1]
c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 =A
Đặt t =x2+y2+1
Ta có : A = t4 -17t2x2 +16x4 = t4 –t2x2 -16t2x2 +16x4 = t2(t2-x2) -16x2(t2-x2)
=(t2-x2)(t2-16x2) =(t+x)(t-x)(t-4x)(t+4x)
= ( x2+y2+1+x) ( x2+y2+1-x)(x2+y2+1-4x)( x2+y2+1+4x)
1 1 1 1
1 1
Câu 4 (8 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF
a) Chứng minh CE vuông góc với DF
b) Chứng minh CM CE. a
CF
c) Gọi K là giao điểm CM và DA Chứng minh MAD cân
d) Tính diện tích MDC theo a
1 1 ( )
BECCFD c g c C D
CDF vuông tại C 0 0
Hay CE DF
2
Trang 4b.Xét CMF v CBEà có CMF CBE 90 0
và MCF chung
=> CMF đồng dạng CBE (gg)
=> CM CF CM CE.
BC
CB CE CF
Mà BC =a
Do đó : CM CE. a
CF
c.Gọi K là giao điểm của AD với CE Ta có :
( )
AEK BEC g c g BCAK
AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M
1 2
AM KD AD AMD
d CMD FCD g g( ) CD CM
FD FC
Do đó :
.
CMD
FCD
.
FCD
S CF CD CD
2
1 4
CMD
CD
FD
Trong DCF theo Pitago ta có :
.
DF CD CF CD BC CD CD CD
Do đó :
2
2
.
4
MCD
CD
CD
2
2
2
Câu 5: (4 điểm ) Hai máy cày cùng làm việc trên một cánh đồng Nếu cả hai
máy cùng làm việc thì sau 4 ngày sẽ cày xong cả cánh đồng Trên thực tế thì hai máy cùng làm việc trong hai ngày ,sau đó máy 1 bị điều động đi nơi khác làm việc Máy hai làm một mình thì sau 6 ngày nữa thì cày xong cánh đồng Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
Giải
Cả hai máy cùng làm việc 4 ngày cày xong cánh đồng
Và cả hai máy cùng làm việc trong hai ngày
Suy ra : còn ½ cánh đồng máy 2 phải hoàn thành công việc 1 mình
Trang 5Mà máy 2 phải cày một mình ½ cánh đồng đó trong 6 ngày
Suy ra : máy 2 cày xong hết cánh đồng mất 12 ngày
Ta có : 1 ngày, máy 2 cày được 1
12 cánh đồng
=> 2 ngày , máy 2 cày được : 1
6cánh đồng
Mà 2 máy , 2 ngày cày chung được ½ cánh đồng
=> 2 ngày máy 1 cày được 1 1 1
2 6 3 cánh đồng
=> 1 ngày máy 1 cày được 1
6 cánh đồng
=> máy 1 cày hết cánh đồng hết 6 ngày
Vậy máy 1 cày hết cánh đồng mất 6 ngày
Máy 2 cày hết cánh đồng mất 12 ngày
(học sinh giải được bằng cách khác vẫn có điểm tối đa)
4