PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian : 150 phút (không kể giao đề) 2 x 1 x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P x 1 : x 3x x 3x a) Rút gọn P b) Tìm x để P có giá trị ngun c) Tìm x để P Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình : x3 6x2 x 30 b) Giải bất phương trình sau: x x 1 2x x 1 3 x2 x c) Cho biết Hãy tìm giá trị biểu thức Q x x2 x x 1 Câu (5,0 điểm) a) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức 5x2 y 8xy y x b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh: a5 b5 c5 30 1 1 c) Chứng minh a b c a b c , a, b, c b c a a b c số thực không nhỏ Câu (4,5điểm) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt tai H Chứng minh rằng: a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) BH BE CH CF BC c) AD.HD BC d) Gọi I, K, Q, R chân đường vng góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD CE BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ….hết… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1 x 1 Ta có: P ( x 1) 2 3x x 3x x x 3x 3x x 1 x 1 Vậy P 2 x 2 x 2x 2x x 1 b) Ta có P x 1 x 1U (2) 1; 2 Từ suy x 2;0;3; 1 , kết hợp với điều kiện x 2;3 2x 2x x 1 1 1 0 x 1 x 1 x 1 Mà x 1 x nên x 1 x x x x 1 c) P Kết hợp với ĐKXĐ 1 x x Câu x a) Ta có : x x x 30 x 3 x x 5 x 2 x Vậy S 2;3;5 x 1 b) x 2x x x x x x x 7 x Vậy tập nghiệm bất phương trình : S x / x c) Từ x2 x x x 0, x x2 x x 1 25 21 1 x x 1 1 x x x 4 x4 x2 1 1 21 Lại có : x2 x x x x Suy Q x2 x x 21 7 4 Câu a)5 x y xy y x 25 x 25 y 40 xy 10 y 10 x 10 x y 1 y 1 2 Do 5x y 12 y 12 với x, y Nên 5x y 12 y 12 Suy x 1; y 1 b) Ta có: a5 a a a 1 a 1 a a 1 a a a 1 a a 1 a a 1 a a 1 Do a 2 a 1 a a 1 a 2 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 5, chia hết cho 30 Lại có a 1 a a 1 chia hết a 1 a a 1 chia hết cho 30 Từ suy a a chia hết cho 30 5 Tương tự b b chia hết cho 30 c c chia hết cho 30 5 5 5 Từ suy a b c a b c a a b b c c chia hết cho 30 5 Mà a b c nên a b c chia hết cho 30 1 1 c) a b c a b c b c a a b c 2 ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 abc abc ab 1 bc 1 ca 1 a 1 b 1 c 1 a 2b 2c abc a b c ab bc ca a 2b 2c a b c a 2b b 2c c a a 2b b 2c c a 2abc a b c a b c ab bc ca ab bc bc ca ca ab a b b c c a 2 2 2 a c b2 1 b a c 1 c b a 1 (đúng với a, b , c ) 2 Câu A E F H B C D a) Ta có: AEB AE AB AF AC ABC (c.g.c) AFC ( g.g ) Từ suy AEF BD BH b) BDH BEC ( g.g ) BE BC BH BE BC.BD (1) CD CH CH CF BC.CD (2) CF BC Từ (1) (2) suy BH BE CH CF BC.BD BC.CD BC DH DB DBH DAC ( g g ) DH DA DC.DB c) Chứng minh DC DA CDH Lại có CFB ( g.g ) DC DB DC.DB BC BC AD HD Do đó: d) A I F E K H Q B D R Từ giả thiết suy EI / /CF , EK / / BC, EQ / / AB, ER / / AD Áp dụng định lý Ta let ta có: AI AE AK IK / / DF (3) AF AC AD BF BH BD * IR / / DF (4) BI BE BR CR CE CQ * RQ / / DF (5) CD CA CF * Từ (3) (4) (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng C Câu A B C O M D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM (1) 1 B C CBM nên BO tia phân giác CBM 1 Ta có : 2 Tương tự CO tia phân giác BCM Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng E 1 Ta có : M1 BMC BAC K1 nên tam giác KMC cân C CK CM (2) Từ (1) (2) suy CK AB ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỐN HOẰNG HĨA Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1 x 1 Ta có: P ( x 1) 2