UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2016 – 2017 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (5,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A ( x 1)( x 2)( x 3)(x 4) 144 Cho biểu thức P x2 x x 1 x2 : x2 x x x 1 x2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ P x Câu (3,0 điểm) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn (20172017 1) chia hết a3 11a Cho đa thức F ( x) x3 ax b (với a, b ) Biết đa thức F ( x) chia cho x dư 12, F ( x) chia cho x dư 6 Tính giá trị biểu thức: B (6a 3b 11)(26 5a 5b) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 12 3x 16 a) 1 x x x x 10 b) x(8x 1)2 (4 x 1) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: y xy 5x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ), kẻ đường cao AH đường trung tuyến AM ( H , M BC ) Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng: a) DE BH HC b) AH AD.DB AE EC c) DE vng góc với AM Giả sử diện tích tam giác ABC lần diện tích tứ giác ADHE Chứng minh tam giác ABC vng cân Câu (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 Q (1 )(1 ) xy x y -Hết - UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2016 - 2017 Đáp án Câu Điểm (1,5 điểm) A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 = (x2 + x - + 5)(x2 + x - - 5) - 144 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 = (x2 + x - 7)2 - 169 = (x2 + x - - 13)(x2 + x - + 13) = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4,0 điểm) a) (1,0 điểm) x ĐKXĐ : x x 1 0,25 Khơng có ĐK x -1 trừ 0,25 đ Câu (4,5điểm) P x x 1 ( x 1)( x 1) x x2 : x( x 1) x( x 1) x 1 x( x 1) 0,25 P x x 1 x x x : x( x 1) x 1 0,25 P x x 1 x 1 x x 1 x( x 1) x 1 x2 : x( x 1) x 12 x 1 x 1 0,25 b) (1,0 điểm) x2 1 1 với x ĐKXĐ P x 1 2 x2 x x 1 x 1 P 0,25 0,25 x (TM ) x 1( L) Vậy x 1 P 2 0,5 (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) c) (1,0 điểm) P x2 ( x 1) ( x 1)(x 1) 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Với x x 1 Để P nguyên x 11; 1 0,25 nguyên x ước x 1 0,25 *) x x (TMĐK) 0,25 *) x 1 x (Loại do) ĐKXĐ Vậy x P nhận giá trị nguyên 0,25 c) (1,0 điểm) x2 1 = x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 Vì x nên x 1 > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho x 1 1 số dương x ta có x x 1 2 x 1 x 1 x 1 Đẳng thức xảy x ( x – 1) = x 1 P 0,25 0,25 0,25 x – = (vì x – > 0) x = (TMĐK) Vậy giá trị nhỏ P x = 0,25 (1,5 điểm) Giả sử tồn số nguyên a thỏa mãn (20172017 1) chia hết a3 11a 0,25 A a3 11a = (a3 a) 12a a(a 1)(a 1) 12a 0,25 ta có (a 1); a;(a 1) số nguyên liên tiếp nên tồn số bội Câu (3 điểm) suy (a 1)a(a 1) 0,25 Vì 12a chia hết A (1) Mặt khác 20172017 (2016 1)2017 chia cho dư 0,25 (2) 0,25 Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử sai, tức khơng có số nguyên thỏa mãn điều kiện toán cho 0,25 (1,5 điểm) Gọi thương phép chia F ( x) cho x x P( x) Q( x) Suy x3 ax b ( x 2) P( x) 12 (1) (2) x ax b ( x 1)Q( x) Thay x vào (1) ta có 2a b 12 2a b 6a 3b 12 Thay x 1 vào (2) ta có 1 a b 6 a b 5 5a 5b 25 B (6a 3b 11)(26 5a 5b) 1.1 1a) (1,5 điểm) Câu (4,0 điểm) PT ( 1) ( 12 3x 16 1) ( 1) (2 )0 x 2 x2 x 8 x 10 x2 x2 x2 x2 0 x x x x 10 1 1 (4 x )( ) (1) x x x x 10 1 1 Vì với giá trị x x x x x 10 x x 2 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên (1) x x x 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2; 2 0,25 1b) (1,5 điểm) x(8 x 1)2 (4 x 1) (64 x 16 x 1)(8 x x) (64 x 16 x 1)(64 x 16 x) 72 Đặt 64x2 -16x = t ta có (*) t(t+1) – 72 = t =- t = Với t = -9 ta có 64x -16x = -9 64x -16x + = (8x -1) +8 = (vơ nghiệm (8x -1)2 +8 > 0) Với t = ta có 64x2 -16x = 64x2 - 16x – = (8x -1)2 -9 = 2 x 8 x x x 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 1 (6,0 điểm) Vậy tập nghiệm phương trình S ; 1c) (1,0 điểm) Ta có: y xy 5x x2 xy y x2 5x ( x y)2 ( x 2)( x 3) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số x x 2 x x 3 *) Với x 2 y *) Với x 3 y 0,25 0,25 0,25 Vậy có cặp số nguyên ( x; y) (2;2) ( x; y) (3;3) 0,25 A E O 0,25 D B H M C a) (1,75 điểm) Chứng minh: DE BH HC Xét AHB CHA Có AHB AHC 900 , B CAH (vì phụ với BAH AHB CHA (g-g) AH HB AH BH CH CH HA 0,5 0,5 Lại có AH BC, HE AC, HD AB nên D H E 900 Tứ giác ADHE hình chữ nhật DE AH 0,5 DE DH CH 0,25 b (1,5 điểm) Chứng minh: AH AD.DB AE EC Chứng minh HDB ADH HD2 AD.DB Chứng minh AHE ACH HE AE.EB Mà tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DH AE Do HD2 HE AE HE = AH = AD.DB AE.EC ( Định lý Pytago áp dụng 0,5 0,5 0,5 vào tam giác vuông AEH ) c) (1,5 điểm) Chứng minh: DE AM Gọi O giao điểm AH DE , Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên OA OE OAE cân O HAE AED ABC vng A , có M trung điểm BC nên MA MB MC MAC cân M MAC MCA AED MAC HAE MCA 900 DE AM 0,5 0,5 0,5 (1,0 điểm) Theo giả thiết S ABC 2S ADHE 4S ADE hay Ta có S AED S ABC (1) S AED AE AD ( AE AC ).( AD AB) AH S ABC AB AC ( AB AC ) ( AB AC ) AH AH AM (2) ( AH BC )2 BC BC Từ (1) (2) AH AM AH AM H M nên ABC vuông cân BC BC 0,25 0,5 0,25 A (1,5 điểm) 1 )(1 ) xy x y 1 x2 y = 2 xy 2 2 xy y x x y x y x y ( x y ) xy 1 xy 2 xy 2 2 xy xy = 1 2 x y x y x y x y xy Câu x y xy xy (*) Áp dụng BĐT AM-GM ta có (1,5điểm) xy 31 Q xy ( xy ) xy 16 xy 16 xy Q (1 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng BĐT AM-GM kết hợp (*) ta có: Q 1 31 37 4 16 Đẳng thức xảy x y 0,25 37 Vậy MinQ x y 0,25 Lưu ý chấm bài: - - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm ... cho dư 0,25 (2) 0,25 Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử sai, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho 0,25 (1,5 điểm) Gọi thương phép chia F ( x) cho x x P( x) Q( x) Suy x3 ax b