UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 2016-2017 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (không kể giao đề) Bài (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3. x 36 x b) Dựa vào kết chứng minh: A n3. n2 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài (2 điểm) x3 x2 Cho biểu thức A x: x 1;1 3 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức x 1 c) Tìm giá trị x để A Bài (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc 2004 Tính: M 2004a b c ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài (1 điểm) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho: x y y 13 ĐÁP ÁN Câu 2 a ) x3 x 36 x x x x 36 x x x x x x x x x x x x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x x x 1 x 3x x x 1 x x x x x 1 x 1 x( x 3) 2( x 3) x x 3 x 3 x x 1 x 1 x 3 x x x 3 b) Theo phần a ta có: A n3 n2 36n n n 1 n 1 n 3 n n n 3 Đây tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có: - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bôi nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2;3;5;7 đôi nguyên tố nên A 2.3.5.7 hay A 210 Câu a) Với x 1; 1thì: x3 x x 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x : : 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x .1 x 1 x 5 b) Tại x 1 A có giá trị 3 2 25 1 1 1 1 10 3 27 c) Với x 1;1thì A 1 x 1 x (1) Vì x nên 1 x x Câu Thay 2004 abc vào M ta có: a 2bc b c M ab a bc abc bc b abc ac c a 2bc b c ab 1 ac c b c ac ac c ac c ac c c ac ac c ac c 1 ac c Câu M A B P N I H C D a) Chứng minh ADM BAN c.g.c A1 D1 Mà D1 M1 900 (ADM vng A) Do đó: A1 M1 900 APM 900 Hay APM vuông A 5 cm, AM cm S APM cm2 5 c) Gọi I trung điểm AD Nối C với I; CI cắt DM H Chứng minh tứ giác AICN hình bình hành b) Tính được: AP AN / /CI mà AN DM nên CI DM Hay CH đường cao tam giác CPD 1 Vận dụng định lý đường trung bình ADP chứng minh H trung điểm DP CH trung tuyến CPD (2) Từ 1 suy CPD cân C Câu Biến đổi đẳng thức cho dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y x y x y 1; x y ước dương 12 Từ ta có trường hợp: x y 1 x y 1 x y 12 13 Mà x; y nguyên dương nên x; y 4;1 4