PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC : 2017 – 2018 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 08 tháng năm 2018 Câu (5,0 điểm) x3 y x2 y Cho biểu thức : P : x 2y y x x y x xy y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x, y thỏa mãn ; x y 6; x y 26 \ c) Nếu x; y số thực dương làm cho P xác định thỏa mãn: x y Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P Câu (4,0 điểm) a) Lúc sáng xe buýt từ vị trí A đến vị trí B với độ dài 60 km Khi tới vị trí C cách vị trí A 39km xe bị hỏng Xe phải dừng lại sửa chữa 15 phút, sau xe tiếp tục từ C đến B với vận tốc giảm so 11 với vận tốc từ A tới C 3km / h Tổng thời gian xe từ A đến B hết (tính thời gian dừng lại sửa xe) Hỏi xe buýt bị hỏng lúc ? b) Giải phương trình x x x x 20 x x x x 12 x 1 x4 x2 x3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho: 4n3 n chia hết cho 2n2 n b) Tìm cặp số nguyên x; y cho: 3x2 y xy x y 40 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 2 b c c a a b b c c a a b2 ĐÁP ÁN Câu 1a) x3 y x2 y 2x y P : 2 x xy y x y x y x y x xy y x y x y x y : 2 2 x xy y x y x y x2 y x y x y 2x 3y x2 y x y x2 y 2x 3y 1b) Điều kiện : x 0; y 0; x y; x 2 y Ta có: x y x x y y 62 26 x y x y Vậy P 52 25 1c) Với x, y dương thỏa mãn điều kiện x 0; y 0; x ; x 2 y ta có: 2 x y xy (vì x y 2) Dấu " " xảy x y Vậy GTLN P x y Câu a) Gọi vận tốc xe buýt từ A đến C x km / h; x 3 vận tốc xe buýt từ C đến B x 3 km / h 39 (h), thời gian để xe buýt hết Thời gian để xe buýt hết quãng đường AC x 21 quãng đường CB h Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút (h) x3 39 21 11 Theo ta có phương trình: x x3 x 39(tm) Giải 36 x (ktm) 19 Vậy từ A tới C xe buýt với vận tốc 39km / h , suy thời gian để xe buýt đo hết quãng đường AC : 39 : 39 1(giờ) Do sáng xe buýt bị hỏng b) Giải phương trình x x x x 20 x x x x 12 x 1 x4 x2 x3 x 1 x 1 1 x 4 x4 4 x 2 x2 2 x 3 x 1; 2; 3; 4 3 x3 x4 x2 x 3 x 1 x4 x2 x3 x 1 x x x x x x 3x x 5x x2 5x x x x x 12 x x x 1 x3 33 x 70 x 48 x 37 x 80 x 48 x 10 x x 0(tm) 5 x (tm) Câu 3a) 4n n 2n Ta có: 2n n 2n n Vì n số nguyên nên 2n 1là số nguyên Do để 4n3 n chia hết cho 2n2 n 2n2 n phải ước số 1 1 7 2 Mặt khác: 2n n n n n 2 16 Do đó: 2n2 n 2n2 n 2n2 n n Giải trường hợp suy ra: n 1 n 3b) Ta có: 3x y xy x y 40 x x y xy x y 1 41 x y 1 x 41 2 3x y 1 y x 1 41 Đặt : 3x y a y x b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a 41 1 41 b 1 41 41 10 10 10 10 a b x 10 32 30 a 3b 12 y Vậy cặp số nguyên x; y cần tìm 10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10 Câu H A N E M C O B 4a Vì tam giác ABC vng cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy OA OC OB OAB ACO 450 Xét OEA OMC có: OA OC; OAB ACO 450 ; AE CM gt OEA OMC c.g.c OE OM & EOA MOC (1) Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO đường cao AO BC AOM MOC AOC 900 (2) Từ (1) (2) suy : AOM AOE EOM 900 Vì OE OM & EOM 900 nên OEM vuông cân O 4b BM BE (3) Vì ME / / AN nên theo định lý Ta – let ta có: MN EA Vì tam giác ABC cân A nên AB AC, mà AE CM nên BE AM Do đó, (3) ta thay BE AM , thay EA MC ta được: BM AM (4) AB / /CN (Theo định lý Ta let đảo) MN MC Mà AB AC CN AC 4c Từ ME / / AN OME OHA (cặp góc đồng vị) Mà OME 450 (vì OEM vng cân O) suy OHA 450 ACB Hay MHA ACB Kết hợp với OMC AHM (đối đỉnh) (1) OM MC , kết hợp OMA CMH (hai góc đối đỉnh) AM MH OMA CMH (c.g.c) OAM MHC (2) Từ (1) (2) suy AHC MHA MHC 900 , suy CH AN Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC AH AN AC.HC không đổi HC AN Câu Chứng minh a b c (1) bc ca ab Ta có: a b c a b c 1 1 1 bc ca ab bc ca ab abc bca cab 1 a b c 3 bc ca ab bc ca ab Đặt : x b c; y c a; z a b Suy x, y, z ta có: 1 1 a b c x y z bc ca ab x y z x z 1 x y y z 9 2 y x z y z x 2 x y x z y z 9 xy xz yz 2 x y x z y z 0) xy xz yz a b c Vậy Dấu " " xảy a b c bc c a a b a2 b2 c2 a b c Chứng minh : 2 2 b c c a a b bc c a a b (Vì (2) Thật vậy, vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt , ta giả sử : a b c Xét hiệu : a2 b2 c2 a b c 2 2 c a a b bc ca ab b c a2 a b2 b c2 c 2 c a a b2 a b b c bc c a a b ab a c ac b a ba b c bc c a ca c b cb b c b c c a c a a b a b 2 2 2 ab a b ac a c b c2 b c 2 2 2 ab a b bc b c c a2 c a 2 2 ac a c bc b c a 1 ab a b b c2 b c c2 a2 c a 1 bc b c c a c a a b2 a b Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c a2 b2 c2 2 Vậy b c c a a b b c c a2 a2 b2 Từ (1) (2) suy đpcm Dấu " " xảy a b c b2 a b