033 đề HSG toán 8 thọ xuân 2017 2018

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC : 2017 – 2018 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 08 tháng năm 2018 Câu (5,0 điểm)  x3  y x2  y    Cho biểu thức : P    :   x  2y   y x x y   x  xy  y a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x, y thỏa mãn ; x  y  6; x  y  26 \ c) Nếu x; y số thực dương làm cho P xác định thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P Câu (4,0 điểm) a) Lúc sáng xe buýt từ vị trí A đến vị trí B với độ dài 60 km Khi tới vị trí C cách vị trí A 39km xe bị hỏng Xe phải dừng lại sửa chữa 15 phút, sau xe tiếp tục từ C đến B với vận tốc giảm so 11 với vận tốc từ A tới C 3km / h Tổng thời gian xe từ A đến B hết (tính thời gian dừng lại sửa xe) Hỏi xe buýt bị hỏng lúc ? b) Giải phương trình x  x  x  x  20 x  x  x  x  12    x 1 x4 x2 x3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho: 4n3  n  chia hết cho 2n2  n  b) Tìm cặp số nguyên  x; y  cho: 3x2  y  xy  x  y  40  Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE  CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN  AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2     2  b  c c  a a  b b  c c  a a  b2 ĐÁP ÁN Câu 1a)  x3  y x2   y    2x  y  P  : 2   x  xy  y   x y  x  y     x  y   x  xy  y   x  y  x  y   x  y   : 2 2 x  xy  y x  y   x y x2 y   x  y  x  y  2x  3y x2 y   x  y   x2 y 2x  3y 1b) Điều kiện : x  0; y  0; x  y; x  2 y Ta có: x  y  x  x y  y  62  26  x y  x y  Vậy P  52  25 1c) Với x, y dương thỏa mãn điều kiện x  0; y  0; x  ; x  2 y ta có: 2 x y xy     (vì x  y  2) Dấu "  " xảy  x  y    Vậy GTLN P  x  y  Câu a) Gọi vận tốc xe buýt từ A đến C x  km / h; x  3 vận tốc xe buýt từ C đến B  x  3 km / h  39 (h), thời gian để xe buýt hết Thời gian để xe buýt hết quãng đường AC x 21 quãng đường CB  h  Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút  (h) x3 39 21 11    Theo ta có phương trình: x x3  x  39(tm) Giải  36  x  (ktm) 19  Vậy từ A tới C xe buýt với vận tốc 39km / h , suy thời gian để xe buýt đo hết quãng đường AC : 39 : 39  1(giờ) Do sáng xe buýt bị hỏng b) Giải phương trình x  x  x  x  20 x  x  x  x  12    x 1 x4 x2 x3  x  1  x 1 1  x  4  x4 4  x  2  x2 2  x  3   x  1; 2; 3; 4  3 x3  x4  x2  x  3 x 1 x4 x2 x3     x 1 x  x  x  x   x  x   3x    x  5x  x2  5x    x    x  x     x  12   x  x    x 1  x3  33 x  70 x  48  x  37 x  80 x  48  x  10 x   x  0(tm)  5  x  (tm)  Câu 3a) 4n  n   2n   Ta có: 2n  n  2n  n  Vì n số nguyên nên 2n  1là số nguyên Do để 4n3  n  chia hết cho 2n2  n  2n2  n  phải ước số  1 1 7  2 Mặt khác: 2n  n    n  n     n      2  16    Do đó: 2n2  n   2n2  n   2n2  n   n  Giải trường hợp suy ra:  n  1   n  3b) Ta có: 3x  y  xy  x  y  40   x   x  y  xy  x  y  1  41   x  y  1   x   41 2   3x  y  1 y  x  1  41 Đặt : 3x  y   a y  x   b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a 41 1 41 b 1 41 41  10 10  10 10 a b x 10 32 30 a  3b  12 y Vậy cặp số nguyên  x; y  cần tìm  10; 12  ; 10; 32 ;  10;30 ; 10;10  Câu H A N E M C O B 4a Vì tam giác ABC vng cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy OA  OC  OB OAB  ACO  450 Xét OEA OMC có: OA  OC; OAB  ACO  450 ; AE  CM  gt   OEA  OMC  c.g.c   OE  OM & EOA  MOC (1) Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO đường cao  AO  BC  AOM  MOC  AOC  900 (2) Từ (1) (2) suy : AOM  AOE  EOM  900 Vì OE  OM & EOM  900 nên OEM vuông cân O 4b BM BE  (3) Vì ME / / AN nên theo định lý Ta – let ta có: MN EA Vì tam giác ABC cân A nên AB  AC, mà AE  CM nên BE  AM Do đó, (3) ta thay BE AM , thay EA MC ta được: BM AM  (4)  AB / /CN (Theo định lý Ta let đảo) MN MC Mà AB  AC  CN  AC 4c Từ ME / / AN  OME  OHA (cặp góc đồng vị) Mà OME  450 (vì OEM vng cân O) suy OHA  450  ACB Hay MHA  ACB Kết hợp với OMC  AHM (đối đỉnh) (1) OM MC   , kết hợp OMA  CMH (hai góc đối đỉnh) AM MH  OMA CMH (c.g.c)  OAM  MHC (2) Từ (1) (2) suy AHC  MHA  MHC  900 , suy CH  AN Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC    AH AN  AC.HC không đổi HC AN Câu Chứng minh a b c    (1) bc ca ab Ta có: a b c  a   b   c      1    1    1  bc ca ab bc  ca  ab  abc bca cab 1       a  b  c   3 bc ca ab bc ca ab Đặt : x  b  c; y  c  a; z  a  b Suy x, y, z  ta có:  1 1 a b c     x  y  z      bc ca ab x y z  x z  1  x y  y z  9                  2  y x  z y  z x  2   x  y  x  z  y  z   9          xy xz yz  2  x  y  x  z   y  z   0) xy xz yz a b c Vậy    Dấu "  " xảy  a  b  c bc c a a b a2 b2 c2 a b c     Chứng minh : 2  2 b c c a a b bc c a a b (Vì (2) Thật vậy, vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt , ta giả sử : a  b  c Xét hiệu :  a2 b2 c2   a b c         2 2  c a a b  bc ca ab b c  a2 a   b2 b   c2 c             2 c  a   a  b2 a  b  b c bc c a  a b  ab    a c  ac   b a  ba   b c  bc    c a  ca    c b  cb   b  c  b  c  c  a c  a  a  b a  b 2  2 2 ab  a  b   ac  a  c  b  c2  b  c  2  2 2 ab  a  b   bc  b  c  c  a2 c  a  2  2 ac  a  c   bc  b  c  a   1   ab  a  b     b  c2  b  c   c2  a2   c  a       1  bc  b  c      c  a   c  a   a  b2   a  b     Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c a2 b2 c2    2  Vậy b  c c  a a  b b  c c  a2 a2  b2 Từ (1) (2) suy đpcm Dấu "  " xảy a  b  c  b2   a  b 