PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2017-2018 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm 2018 Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 x2 14 x 24 b) x4 2018x2 2017 x 2018 2) Cho x y xy Chứng minh rằng: 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y Bài (3,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn y xy 3x y2 cho tích x y đạt giá b) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x trị lớn Bài (3,0 điểm) a) Tìm đa thức f ( x), biết f ( x) chia cho x dư 10, chia cho x dư 24, chia cho x thương 5x dư b) Cho p p 1là số nguyên tố lớn Chứng minh p 1là hợp số Bài (8,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC có AD tia phân giác BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN 1) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC 2) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF 3) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BI AO DM BK AD I Chứng minh : 9 KI KO KM Bài (2,0 điểm) m2 n2 m n a) Cho x 0, y m, n hai số thực Chứng minh x y x y b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 1 Chứng minh rằng: a b c b c a c a b 2 ĐÁP ÁN Bài 1) a ) x x 14 x 24 x3 x x x 12 x 24 x x x x 12 x x x 12 x x x 3 x b) x 2018 x 2017 x 2018 x 2017 x x 2017 x 2017 x x 1 2017 x x 1 x x 1 x x 1 2017 x x 1 x x 1 x x 2018 2) Với x y xy ta có: x y x4 x y y y x3 y 1 x 1 x y x y xy x x 1 y y 1 x y x y x y 1 xy x y xy x y x y xy x y x x y y 4 2 2 2 x y x x 1 y y 1 Vậy 2 xy x y x y xy x y 3 2 x y x2 y 2 x y x y 0 y x3 x y Bài a) y xy 3x x xy y x 3x x y x 1 x * VT (*) số phương, VP (*) tích hai số ngun liên tiếp nên phải có số x 1 x 1 x x 2 Với x 1 y Với x 2 y b) Điều kiện x y2 y2 x2 x2 x2 xy xy x x 2 1 y x x xy x 2 2 1 y Vì x 0; x với x 0; y x 2 Do xy mà x, y x 1; y x 2; y Dấu xảy x 1; y 2 x 2; y 1 Bài a) Giả sử f x chia cho x thương 5x dư ax b Khi f ( x) x 5x xa b f (2) 24 2a b 24 a Theo đề ta có: f ( 2) 10 a b 10 b 17 Do f ( x) x 5 x x 17 47 x 17 Vậy f ( x) 5 x b) Do p số nguyên tố lớn nên có dạng p 3k 1; p 3k với k + Nếu p 3k p 6k 3 2k 1 Suy p hợp số (vô lý) +Nếu p 3k 1, k p 12k 3. 4k 1 Do k nên 4k Do p 1là hợp số Bài A N M H E B LF K OD C 1) *Chứng minh tứ giác AMDN hình vng +) Chứng minh AMD 900 ; AND 900 ; MAN 900 Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật +)Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng *Chứng minh EF // BC FM DB +) Chứng minh : (1) FC DC DB MB Chứng minh: (2) DC MA MB MB Chứng minh AM DN (3) MA DN MB EM Chứng minh (4) DN ED EM FM EF / / BC ED FC 2) Chứng minh ANB NFA AN DN (5) Chứng minh AN DN suy AB AB DN CN Chứng minh (6) AB CA CN FN Chứng minh (7) CA AM FN FN Chứng minh AM AN Suy (8) AM AN AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy ANB NFA c.g.c AB AN *chứng minh H trực tâm tam giác AEF Vì ANB NFA nên NBA FAN Mà BAF FAN 900 NBA BAF 900 Suy EH AF , Tương tự: FH AE , suy H trực tâm AEF 3) Đặt S AKD a, SBKD b, S AKB c.Khi đó: S ABD S ABD S ABD a b c a b c a b c S AKD S BDK S AKB a b c Từ 1 , , 3 , suy b a a c b c 3 a b c a c b b a Theo định lý AM-GM ta có: a b a c b c Tương tự : ; c a c b BI AO DM 9 Suy KI KO KM Dấu " " xảy ABD tam giác đều, suy trái với giả thiết Bài 5a) Với x 0, y m, n ta có: m2 n2 m n x y x y (1) m2 y n x x y xy m n nx my 5b) Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có: m2 n p m n p2 m n p (2) x y z x y z x yz 1 2 1 a b c Ta có: a b c b c a c a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 2 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c abc 1 ab ac bc ab ac bc ab bc ac 1 1 2 a b c 1 2 1 1 1 b c Hay a ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 Mà nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 1 Do đó: a b c b c a c a b 2