PGD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN THỨ BA – NĂM HỌC 2014-2015 Mơn thi: Tốn Lớp Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 18 x x 25 3 2) a a 2b b 2a b 3) x x 3 x x Bài (2,5 điểm) x 1 x 3 A : x 2x 2x 4x Cho biểu thức 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ab bc ca 1 2 a b b c c a A 1 a 1 b 1 c Tính giá trị biểu thức x y a b 2 2 2) Cho x y a b 2 n n n n Chứng minh với số nguyên dương n ta có: x y a b Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x : a) x x x 4 x b) x x x 0 2 2) Tìm x, y biết: x y xy 24 x y 21 0 Bài (3,0 điểm) 2015 1945 1930 2 1) Tìm dư chia x x x x x 1cho x A x 3x 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Goi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm ABD 2) Chứng minh rằng: AP PQ QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E , F Chứng minh I , K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI AK không đổi M thuộc đường thẳng AB ĐÁP ÁN Bài Bài 2 18 x x 2 x x 2 x 3x 3x 25 25 5 1) 3 a a 2b b 2a b a a b b b a a b 2) a a b a b b a b b b3 b a3 3a a b 3a a b a b 3 a a b 3ab a b 3ab a b ab a 3b 3a 2b a b 3ab a b b a b 3 a a b 3ab a b ab3 a 3b 3a 2b a b b a b 2 a b a a b 3ab ab a b 3a 2b b a b a b a 2a 2b ab 3ab a 2b ab 3a 2b a 2b 2ab b3 a b a 3a 2b 3ab b3 a b a b 3) Đặt A x x 3 x x A x x 3 x x x x 10 x x 12 x x 11 1 x x 11 1 x x 11 x x 11 Bài 1) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: x 0 x 1 2 x 0 x 1 x 1 2 x 0 x 4 x 0 2) Với x 1, ta có: x 1 x 4x2 A x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 6x x x x 3 4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến Bài 1) Ta có: a ab bc ca a a a b c a b a b a c Tương tự: b b a b c c c a c b Do đó: 2 a b b c c a A 1 ( a b) a c b a b c c a c b x y a b x a y b 0 2) Từ x a x a y b y b 0 Bởi : x y a b x a b y, vào ta có: b y x a y b y b 0 b y 0 b y x a y b 0 x a y b *) Nếu b y 0 y b x a n y n a n b n x y b a x a y b x y a b *)Nếu n n n n n n Do đó: x y b a a b x b y a n n n n Vậy trường hợp, ta có: x y a b Bài (1) 1a) x x x 4 x Vế trái ln ln khơng âm nên x ta ln có x 0 x 0 x 0 nên x 0, x 0, x x x 1; x x 3; x x Do 1 x x x 4 x x 9 x 1b) x x 0 (1) Điều kiện : x 0 x 1(*) x 2(ktm) x x 0 1 x 3( ktm) x 0 x 1(tm) Vậy x 1 x y xy 24 x y 21 0 2) y xy y x 24 x 21 0 y y x 3 x x 12 x 12 0 2 y x 3 x 0 y x 0 x 0 Vậy x 2; y x 2 y Bài 2015 1945 1930 f x x x x x x cho x 1) Đặt Gọi thương chia f x cho x Q ( x), dư ax b f x x 1 Q ( x ) ax b Ta có: Đẳng thức với x nên - Với x 1 ta f 1 a b a b 2 (1) - Với x ta được: f 1 a b a b 0 Từ (1) (2) suy a 1, b 1, Dư phải tìm x 3 7 A x x x 2 4 2) Ta có: 2 49 7 A x 16 Dấu xảy 49 A x 16 Vậy Bài (2) K F B C Q O P A E M D I 1) Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC , BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến ABD Mà AO cắt BE P nên P trọng tâm ABD 2 1 AP AO AC AC 3 2) Theo câu 1) P trọng tâm ABD nên CQ AC Tương tự, ta có: PQ AC AP CQ AC Do đó: Vậy AP PQ QC 3) Vì I đối xứng với M qua E nên EI EM Ta có: AE ED, EI EM AMDI hình bình hành AI / / MD(1) Chứng minh tương tự, ta có: BK / / MC (2) Từ (1) (2) suy I , A, B, K thẳng hàng hay I , K thuộc đường thẳng AB 4) KMI có E, F trung điểm MI , MK EF đường trung bình EF KI KI 2 EF AI AK 2 EF (4) KMI BF / / AE AF AE ABFE hình bình hành EF AB (5) Từ (4) (5) suy AI AK 2 AB không đổi M di động cạnh CD