033 đề hsg toán 8 thọ xuân 2017 2018

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC : 2017 – 2018 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 08 tháng năm 2018 Câu (5,0 điểm)  x3  y x2  y    P    :   x  2y   y x x y   x  xy  y Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P 2 x  y  6; x  y 26 \ x , y P b) Tính giá trị biểu thức thỏa mãn ; c) Nếu x; y số thực dương làm cho P xác định thỏa mãn: x  y 2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P Câu (4,0 điểm) a) Lúc sáng xe buýt từ vị trí A đến vị trí B với độ dài 60 km Khi tới vị trí C cách vị trí A 39km xe bị hỏng Xe phải dừng lại sửa chữa 15 phút, sau xe tiếp tục từ C đến B với vận tốc giảm so 11 với vận tốc từ A tới C 3km / h Tổng thời gian xe từ A đến B hết (tính thời gian dừng lại sửa xe) Hỏi xe buýt bị hỏng lúc ? b) Giải phương trình x  x  x  x  20 x  x  x  x  12    x 1 x4 x2 x 3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho: 4n  n  chia hết cho 2n  n  2 b) Tìm cặp số nguyên  x; y  cho: 3x  y  xy  x  y  40 0 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN  AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2       b  c c  a a  b b2  c2 c2  a a  b2 ĐÁP ÁN Câu 1a)  x3  y x2   y    2x  y  P    : 2   x  xy  y   x y  x  y     x  y   x  xy  y   x  y   x  y   x  y   : 2 x  xy  y x  2y   x y x2 y2  x  y  x  y  2x  y  x  y  x2 y2 x y 2x  y 1b) x 0; y 0; x  y; x  y Điều kiện : Ta có:  x  y x  x y  y  62 26  x y  x y 5 Vậy P 5 25 1c) x  0; y  0; x  ; x  y x , y Với dương thỏa mãn điều kiện ta có:  x y xy   1   (vì x  y 2) Dấu " " xảy  x  y 1 Vậy GTLN P  x  y 1 Câu a) Gọi vận tốc xe buýt từ A đến C x  km / h; x  3 vận tốc xe buýt từ C đến B  x  3  km / h  39 (h), x AC Thời gian để xe buýt hết quãng đường thời gian để xe buýt hết 21  ( h)  h quãng đường CB x  Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút 39 21 11    Theo ta có phương trình: x x   x 39(tm)  36  x  (ktm) 19 Giải  Vậy từ A tới C xe buýt với vận tốc 39km / h , suy thời gian để xe buýt đo hết quãng đường AC : 39 : 39 1(giờ) Do sáng xe bt bị hỏng b) Giải phương trình x  x  x  x  20 x  x  x  x  12    x 1 x4 x2 x 3   x  1 x 1 1  x  4  x4 4  x  2  x2 2  x  3   x  1;  2;  3;   3 x 3  x4 x    x 3 x 1 x4 x2 x 3     x 1 x  x  x  x   x  x   3x    x2  5x  x  5x    x    x  x    x  12   x  x    x 1   x3  33 x  70 x  48 5 x  37 x  80 x  48  x  10 x 0  x 0(tm)  5  x  (tm)  Câu 3a) 4n  n   n   2n  n  Ta có: 2n  n  Vì n số nguyên nên 2n  số nguyên Do để 4n  n  chia hết cho 2n  n  2n  n  phải ước số  1 1 7  2n  n  2  n  n   2   n      2  16     Mặt khác: 2 Do đó: 2n  n  1 2n  n  2 2n  n  4  n 0  n    Giải trường hợp suy ra:  n 1 3b) Ta có: 3x  y  xy  x  y  40 0  x   x  y  xy  x  y  1  41 2   x  y  1   x  41   3x  y  1  y  x  1 41 Đặt : 3x  y  a y  x  b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a b a b x a  3b  y  41 1  10 1  41 10 41  10 41 10  12  32 30 10 Vậy cặp số nguyên  x; y  cần tìm   10;  12  ;  10;  32  ;   10;30  ;  10;10  Câu H A E M N C O B 4a Vì tam giác ABC vuông cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy OA OC OB  OAB  ACO 450   Xét OEA OMC có: OA OC ; OAB  ACO 45 ; AE CM  gt     OEA OMC  c.g c   OE OM & EOA MOC (1) Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO đường cao   AO  BC  AOM  MOC  AOC 900 (2)    Từ (1) (2) suy : AOM  AOE EOM 90  Vì OE OM & EOM 90 nên OEM vng cân O 4b BM BE  (3) MN EA ME / / AN Vì nên theo định lý Ta – let ta có: Vì tam giác ABC cân A nên AB  AC , mà AE CM nên BE  AM Do đó, (3) ta thay BE AM , thay EA MC ta được: BM AM  (4)  AB / / CN MN MC (Theo định lý Ta let đảo) Mà AB  AC  CN  AC 4c   Từ ME / / AN  OME OHA (cặp góc đồng vị) 0    Mà OME 45 (vì OEM vng cân O) suy OHA 45  ACB     Hay MHA  ACB Kết hợp với OMC  AHM (đối đỉnh) (1) OM MC   ,   CMH AM MH kết hợp OMA (hai góc đối đỉnh)    OMA CMH (c.g c )  OAM MHC (2)    Từ (1) (2) suy AHC MHA  MHC 90 , suy CH  AN Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC    AH AN  AC.HC HC AN không đổi Câu a b c    (1) Chứng minh b  c c  a a  b Ta có: a b c  a   b   c      1    1    1  b c c  a a b  b c   c  a   a b  a b c b c a c a b 1        a  b  c      bc ca a b  b c c a a b  Đặt : x b  c; y c  a; z a  b Suy x, y, z  ta có:  1 1 a b c     x  y  z      b c c a a b x y z x y  x z  1  y z       2     2     2  2  z y y x  z x  2 x  y x  z y  z  1     9          xy xz yz  2 2  x  y    x  z    y  z  0 xy xz yz (Vì ) a b c    Vậy b  c c  a a  b Dấu " " xảy  a b c a2 b2 c2 a b c      (2) 2 c2  a a2  b2 b  c c  a a  b Chứng minh : b  c Thật vậy, vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt , ta giả sử : a b c Xét hiệu :  a2 b2 c2   a b c           c  a a  b2   b  c c  a a  b   b c  a2 a   b2 b   c2 c             2 c  a   a  b2 a  b   b c bc  c a  a b  ab    a c  ac    b a  ba    b c  bc    c a  ca    c b  cb    b  c   b  c  c  a   c  a  a  b   a  b 2  2 2 ab  a  b   ac  a  c  b  c2   b  c  2  2 2  ab  a  b   bc  b  c  c  a2   c  a  2  2  ac  a  c   bc  b  c  a   1  ab  a  b      b  c2   b  c   c2  a2   c  a       1  bc  b  c      c  a   c  a   a  b2   a  b     Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c a2 b2 c2    2  c  a a  b2 Vậy b  c c  a a  b b  c Từ (1) (2) suy đpcm Dấu " " xảy a b c  b2   a  b 