PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THỌ XN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG CÁP HUYỆN NĂM HỌC : 2017 – 2018 Mơn: Tốn – Lớp Ngày thi: 08 tháng năm 2018 Câu (5,0 điểm) x3 y x2 y P : x 2y y x x y x xy y Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P 2 x y 6; x y 26 \ x , y P b) Tính giá trị biểu thức thỏa mãn ; c) Nếu x; y số thực dương làm cho P xác định thỏa mãn: x y 2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P Câu (4,0 điểm) a) Lúc sáng xe buýt từ vị trí A đến vị trí B với độ dài 60 km Khi tới vị trí C cách vị trí A 39km xe bị hỏng Xe phải dừng lại sửa chữa 15 phút, sau xe tiếp tục từ C đến B với vận tốc giảm so 11 với vận tốc từ A tới C 3km / h Tổng thời gian xe từ A đến B hết (tính thời gian dừng lại sửa xe) Hỏi xe buýt bị hỏng lúc ? b) Giải phương trình x x x x 20 x x x x 12 x 1 x4 x2 x 3 Câu (3,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên n cho: 4n n chia hết cho 2n n 2 b) Tìm cặp số nguyên x; y cho: 3x y xy x y 40 0 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 b c c a a b b2 c2 c2 a a b2 ĐÁP ÁN Câu 1a) x3 y x2 y 2x y P : 2 x xy y x y x y x y x xy y x y x y x y : 2 x xy y x 2y x y x2 y2 x y x y 2x y x y x2 y2 x y 2x y 1b) x 0; y 0; x y; x y Điều kiện : Ta có: x y x x y y 62 26 x y x y 5 Vậy P 5 25 1c) x 0; y 0; x ; x y x , y Với dương thỏa mãn điều kiện ta có: x y xy 1 (vì x y 2) Dấu " " xảy x y 1 Vậy GTLN P x y 1 Câu a) Gọi vận tốc xe buýt từ A đến C x km / h; x 3 vận tốc xe buýt từ C đến B x 3 km / h 39 (h), x AC Thời gian để xe buýt hết quãng đường thời gian để xe buýt hết 21 ( h) h quãng đường CB x Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút 39 21 11 Theo ta có phương trình: x x x 39(tm) 36 x (ktm) 19 Giải Vậy từ A tới C xe buýt với vận tốc 39km / h , suy thời gian để xe buýt đo hết quãng đường AC : 39 : 39 1(giờ) Do sáng xe bt bị hỏng b) Giải phương trình x x x x 20 x x x x 12 x 1 x4 x2 x 3 x 1 x 1 1 x 4 x4 4 x 2 x2 2 x 3 x 1; 2; 3; 3 x 3 x4 x x 3 x 1 x4 x2 x 3 x 1 x x x x x x 3x x2 5x x 5x x x x x 12 x x x 1 x3 33 x 70 x 48 5 x 37 x 80 x 48 x 10 x 0 x 0(tm) 5 x (tm) Câu 3a) 4n n n 2n n Ta có: 2n n Vì n số nguyên nên 2n số nguyên Do để 4n n chia hết cho 2n n 2n n phải ước số 1 1 7 2n n 2 n n 2 n 2 16 Mặt khác: 2 Do đó: 2n n 1 2n n 2 2n n 4 n 0 n Giải trường hợp suy ra: n 1 3b) Ta có: 3x y xy x y 40 0 x x y xy x y 1 41 2 x y 1 x 41 3x y 1 y x 1 41 Đặt : 3x y a y x b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số nguyên tố, từ ta có trường hợp bảng sau: a b a b x a 3b y 41 1 10 1 41 10 41 10 41 10 12 32 30 10 Vậy cặp số nguyên x; y cần tìm 10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10 Câu H A E M N C O B 4a Vì tam giác ABC vuông cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy OA OC OB OAB ACO 450 Xét OEA OMC có: OA OC ; OAB ACO 45 ; AE CM gt OEA OMC c.g c OE OM & EOA MOC (1) Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO đường cao AO BC AOM MOC AOC 900 (2) Từ (1) (2) suy : AOM AOE EOM 90 Vì OE OM & EOM 90 nên OEM vng cân O 4b BM BE (3) MN EA ME / / AN Vì nên theo định lý Ta – let ta có: Vì tam giác ABC cân A nên AB AC , mà AE CM nên BE AM Do đó, (3) ta thay BE AM , thay EA MC ta được: BM AM (4) AB / / CN MN MC (Theo định lý Ta let đảo) Mà AB AC CN AC 4c Từ ME / / AN OME OHA (cặp góc đồng vị) 0 Mà OME 45 (vì OEM vng cân O) suy OHA 45 ACB Hay MHA ACB Kết hợp với OMC AHM (đối đỉnh) (1) OM MC , CMH AM MH kết hợp OMA (hai góc đối đỉnh) OMA CMH (c.g c ) OAM MHC (2) Từ (1) (2) suy AHC MHA MHC 90 , suy CH AN Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC AH AN AC.HC HC AN không đổi Câu a b c (1) Chứng minh b c c a a b Ta có: a b c a b c 1 1 1 b c c a a b b c c a a b a b c b c a c a b 1 a b c bc ca a b b c c a a b Đặt : x b c; y c a; z a b Suy x, y, z ta có: 1 1 a b c x y z b c c a a b x y z x y x z 1 y z 2 2 2 2 z y y x z x 2 x y x z y z 1 9 xy xz yz 2 2 x y x z y z 0 xy xz yz (Vì ) a b c Vậy b c c a a b Dấu " " xảy a b c a2 b2 c2 a b c (2) 2 c2 a a2 b2 b c c a a b Chứng minh : b c Thật vậy, vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt , ta giả sử : a b c Xét hiệu : a2 b2 c2 a b c c a a b2 b c c a a b b c a2 a b2 b c2 c 2 c a a b2 a b b c bc c a a b ab a c ac b a ba b c bc c a ca c b cb b c b c c a c a a b a b 2 2 2 ab a b ac a c b c2 b c 2 2 2 ab a b bc b c c a2 c a 2 2 ac a c bc b c a 1 ab a b b c2 b c c2 a2 c a 1 bc b c c a c a a b2 a b Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c a2 b2 c2 2 c a a b2 Vậy b c c a a b b c Từ (1) (2) suy đpcm Dấu " " xảy a b c b2 a b