TRƯỜNG THCS LỘC THẠCH THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC : 2014-2015 Mơn thi : TỐN Câu (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c ( a − b ) thành nhân tử 3 ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) a , b, c b) Cho số nguyên thỏa mãn Tính giá trị A= a −b + b−c + c −a biểu thức Câu (2,5 điểm) x + y = − xy a) Giải phương trình nghiệm nguyên : ( x + 8) ( x + ) ( x + ) = 72 b) Giải phương trình: Câu (2,5 điểm) 2 P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x, y , z x + y + z = b) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 + + ≥ x +x y +y z +z Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C BM vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia D, cắt tia BA E a) Chứng minh : EA.EB = ED.EC AC M b) Chứng minh điểm di chuyển cạnh tổng BM BD + CM CA có giá trị không đổi DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) P, Q c) Kẻ Gọi trung điểm đoạn thẳng CQ ⊥ PD BH , CH Chứng minh ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c ( a − b ) = a ( b − c ) + b ( c − a ) − c ( b − c + c − a ) = ( b − c ) ( a2 − c2 ) + ( c − a ) ( b2 − c2 ) = ( b − c ) ( a − c ) ( a + c ) + ( c − a ) ( b − c ) ( b + c ) = ( b − c) ( a − c) ( a + c − b − c) = ( b − c) ( a − c) ( a − b) a − b = x; b − c = y; c − a = z ⇒ x + y + z = ⇒ z = − ( x + y ) b) Đặt Ta có: x3 + y + z = 210 ⇔ x + y − ( x + y ) = 210 ⇔ −3 xy ( x + y ) = 210 ⇔ xyz = 70 xyz = 70 = ( −2 ) ( −5 ) x, y , z Do số nguyên có tổng x, y, z ∈ { −2; −5;7} ⇒ A = a − b + b − c + c − a = 14 nên Câu ( x − y) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇒ − xy ≥ xy ⇔ xy ≤ a) Ta có: ( x + y ) ≥ ⇔ x + y ≥ −2 xy ⇒ − xy ≥ −2 xy ⇔ xy ≥ −3 Lại có: x, y ∈ ¢ ⇒ xy ∈ { −3; −2 − 1;0;1} −3 ≤ xy ≤ Suy Mà ( x, y ) ∈{ ( −2;1) ; ( 1; −2 ) ; ( 2; −1) ; ( −1;2 ) ; ( 1;1) } Lần lượt thử ta nghiệm phương trình 6x + = t b) Đặt Ta có: ( t + 1) ( t − 1) t = 72 ⇔ ( t − 1) t = 72 ⇔ t − t − 72 = x = − t + = 0(VN ) t = 3 ⇒ ⇔ ⇒ t = −3 x = − t − = Câu a) Ta có: 2 P = ( x − 2012 ) + ( x + 2013) = x − 4024 x + 4048144 + x + 4026 x + 4052169 1 = x + x + 8100313 = x + ÷ + 8100312,5 ≥ 8100312,5 2 MinP = 8100312,5 ⇔ x = − Vậy P= ∀x 1 1 1 + + = + + x + x y + y z + z x ( x + 1) y ( y + 1) z ( z + 1) b) Đặt 1 1 1 1 1 1 = − + − + − = + + ÷− + + ÷ x x +1 y y +1 z z +1 x y z x +1 y +1 z +1 1 + + ≥ a b c a+b+c 1 1 1 ≤ + ÷ a+b a b a, b, c với dương , dấu Áp dụng BĐT ⇔a=b=c xảy 1 1 1 1 1 ≤ + 1÷; ≤ + 1÷; ≤ + 1÷ x +1 x y +1 y z +1 z Ta có: Bởi 1 1 1 1 1 1 1 P = + + ÷− + + ÷ ≥ + + ÷− + + + + + 1÷ y z x y z x +1 y +1 z +1 x y z x 1 1 3 9 3 = + + ÷− ≥ − = − = (dfcm) x y z 4 x+ y+z 4 Câu EB ED ⇒ = ⇒ EA.EB = ED.EC ∆EBD : ∆ECA ( g − g ) EC EA a) Chứng minh MI ⊥ BC ( I ∈ BC ) ∆BIM : ∆BDC ( g.g ) b) Kẻ Ta có : BM BI ⇒ = ⇒ BM BD = BI BC (1) BC BD ∆ACB : ∆ICM ( g − g ) ⇒ Tương tự: CM CI = ⇒ CM CA = CI BC (2) BC CA BM BD + CM CA = BI BC + CI BC = BC.( BI + CI ) = BC Từ (1) (2) suy (Không đổi) ∆BHD : ∆DHC ( g g ) c) ⇒ BH BD BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC · · ∆DPB : ∆CQD ( g g ) ⇒ BDP = DCQ Chứng minh được: · · · · BDP + PDC = 900 ⇒ DCQ + PDC = 900 ⇒ CQ ⊥ PD Mà