Thông tin tài liệu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP Bài (3đ) a) Phân tích đa thức x3 − 5x + 8x − thành nhân tử x AMB b) Tìm giá trị nguyên để biết A = 10 x − x − B = x − x + y =1 xy ≠ c) Cho Chứng minh rằng: 2( x − y ) x y − + =0 y − x3 − x y + Bài (3đ) Giải phương trình sau: a) ( x + x ) + ( x + x ) = 12 b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối AE = CF tia CB lấy F cho ∆EDF a) Chứng minh vuông cân b) Gọi O giao điểm hai đường chéo EF Chứng minh AC BD Gọi I trung điểm O, C , I thẳng hàng D, E ABC Bài (2 điểm) Cho tam giác vuông cân A Các điểm theo thứ tự di AB, AC chuyển cho DE a) có độ dài nhỏ BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN Bài a) x3 − x + x − = x3 − x + x − x + x − = x ( x − x + ) − ( x − x + ) = ( x − 1) ( x − ) b) Xét Với A 10 x − x − = = 5x + + B 2x − 2x − x∈¢ Mà Ư AMB ∈ ¢ ⇒ 7M ( x − 3) 2x − ( ) = { −1;1; −7;7} ⇒ x = 5; −2;2;1 AMB x y x4 − x − y + y − = y − x − ( y − 1) ( x3 − 1) = c) Biến đổi ( x4 − y ) − ( x − y ) xy ( y + y + 1) ( x + x + 1) ( x + y = ⇒ y − = −x & x − = − y ) = ( x − y ) ( x + y ) ( x2 + y ) − ( x − y ) xy ( x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) ( x − y ) ( x + y − 1) = xy x y + xy ( x + y ) + x + y + xy + 2 ( x − y ) ( x − x + y − y ) ( x − y ) x ( x − 1) + y ( y − 1) = = xy ( x y + 3) xy x y + ( x + y ) + = = ( x − y ) x ( − y ) + y ( − x ) ( x − y ) ( −2 xy ) = xy ( x y + 3) −2 ( x − y ) x2 y2 + xy ( x y + 3) Suy điều phải chứng minh Bài a) Đặt (x + x ) + ( x + x ) = 12 y = x2 + x y + y − 12 = ⇔ y + y − y − 12 = y = −6 ⇔ ( y + 6) ( y − 2) = ⇔ y = *x + x = −6 vơ nghiệm x2 + x + > với x *x + x = ⇔ x + x − = ⇔ x + x − x − = ⇔ x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( x − 1) = ⇔ x = −2; x = b) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + ÷+ + 1÷+ + 1÷ = + 1÷ + + 1÷+ + 1÷ 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 ⇔ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 ⇔ ( x + 2009 ) + + − − − ÷= 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 1 + + − − − ≠0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇒ x = −2009 Bài a) Ta có : ∆ADE = ∆CDF ( c.g c ) ⇒ ∆EDF cân D · · ∆ADE = ∆CDF (c.g c) ⇒ BED = CFD Mặt khác · · · · · · BED + DEF + EFB = 900 ⇒ BFD + DEF + EFB = 900 Mà · ⇒ EDF = 900 ∆EDF Vậy vuông cân b) ⇒ CO Theo tính chất đường chéo hình vuông trung trực BD ⇒ DI = EF ∆EDF Mà vuông cân BI = EF ⇒ DI = BI Tương tự ⇒I DB ⇒ I thuộc đường trung trực thuộc đường thẳng CO O, C , I Nên thẳng hàng Bài a) AE = BD = x ( < x < a ) AB = AC = a Đặt không đổi; ∆ADE Áp dụng định lý Pytago với vng A có: 2 2 DE = AD + AE = ( a − x ) + x = x − 2ax + a = ( x − ax ) − a 2 a a a2 = 2 x − ÷ + ≥ 2 2 ⇔x= a ⇔ DE Ta có DE nhỏ nhỏ a ⇔ BD = AE = ⇔ AB, AC D, E trung điểm b) BDEC Tứ giác có diện tích nhỏ 1 S ADE = AD AE = AD.( AB − AD ) = − ( AD − AB AD ) 2 Ta có: 2 1 AB AB AB 1 AB AB AB 2 = − AD − AD + = − AD − ≤ ÷+ ÷ + 2 2 8 S BDEC = S ABC − S ADE Vậy Do AB AB ≥ − = AB 8 S BDEC = AB không đổi D, E trung điểm AB, AC ... x + 2009 x + 2009 ⇔ + + = + + 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 ⇔ ( x + 2009 ) + + − − − ÷= 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 1 + + − − − ≠0 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 ⇒ x = −2009... + x + x + x + x + + + = + + 20 08 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + ÷+ + 1÷+ + 1÷ = + 1÷ + + 1÷+ + 1÷ 20 08 2007 2006 2005 ... AB AB AB 1 AB AB AB 2 = − AD − AD + = − AD − ≤ ÷+ ÷ + 2 2 8 S BDEC = S ABC − S ADE Vậy Do AB AB ≥ − = AB 8 S BDEC = AB không đổi D, E trung điểm AB, AC
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:01
Xem thêm:
