ĐỀ THI OLYMPIC CÁP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2016-2017 Bài Phân tích thành nhân tử: a) a 2a 13a 10 a 4b 5 16 ab 1 2 b) Bài Cho số tự nhiên a, b, c Chứng minh a b c chia hết cho a b3 c3 3a 3b 3c chia hết cho a b2 Bài a) Cho a b Chứng minh 2 b) Cho 6a 5b Tìm giá trị nhỏ 4a 25b Bài Đa thức bậc có hệ số cao thỏa mãn f (1) 5; f (2) 11; f (3) 21 Tính f (1) f (5) Bài Cho tam giác vuông cân ABC ( AB AC ).M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NM MA; CN cắt AB E Chứng minh : a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN NC NB 1 b) AN AB ĐÁP ÁN Bài a) Ta nhận thấy a 1, a nghiệm đa thức nên: a 2a 13a 10 a 1 a a b) a 4b 16 ab 1 a 4b 4ab a 4b 4ab 2 2 a 2b 1 a 2b a 2b 1 a 2b 1 a 2b 3 a 2b 3 Bài A a b cM AM 6; B a b c 3a 3b 3c C B A a 3a 2a b3 3b 2b c 3c 2c a a 1 a b b 1 b c c 1 c a a 1 a , b(b 1)(b 2) , c(c 1)(c 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho C M6 B M Bài 2 a) Từ a b a b a 2b b , thay vào đẳng thức cần chứng 1 2b 2b minh ta có: 2 2 a b 4b 4b 2b 1 BĐT Vậy a 2b 1 b Dấu " " xảy b) Đặt x 2a, y 5b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 3x y x y 1 x y 1 4a 25b2 10 hay 10 b 50 y x 15b 2a 6a 45b x y a 20 Dấu xảy Bài Nhận xét g ( x) x thỏa mãn g (1) 5; g (2) 11; g (3) 21 Q( x) f ( x) g ( x) đa thức bậc có nghiệm x 1; x 2; x Vậy Q( x) x 1 x x 3 x a ; ta có: f ( 1) Q (1) 2(1)2 29 24a f (5) Q (5) 2.52 173 24a f (1) f (5) 202 Bài a) ANC vng N (vì AM MC MN ) · · · · CNM MNA 900 & BAN NAC 900 · · · · Mà MNA NAC CNM BAN · · · · Mặt khác CNM BNE (đối đỉnh) BNE BAN BNE : BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM MN Tứ giác ANCF hình chữ nhật (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) · CE / / AF ·AFB ENB (đồng vị) BAN : BFA FA BF NC AB NB NC NB 1(dfcm) AN BA AN AB AN AB