de giao luu hsg toan 8 nam 2016 2017 phong gddt tam duong vinh phuc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay! Câu (2,0 điểm) xy 2 a) Tính giá trị biểu thức P  Biết x  2y  xy  x  y  0, y   xy b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = Câu (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức  x   x   x   x  8  2017 cho đa thức x  10x  21 b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n – 6n5 – 26 B = + n3 – n Chứng minh với n  Z thương phép chia A cho B bội số Câu (2,0 điểm) a) Cho a b thỏa mãn: a + b = Tính giá trị biểu thức B = a + b3 + 3ab b) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1   x x y y z z Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB AC E F a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF c) Kí hiệu SX diện tích hình X Chứng minh S2FDC  16 SAMC.SFNA Câu (1,0 điểm) Trong đề thi có tốn A, B, C Có 25 học sinh người giải Biết rằng: - Trong số thí sinh khơng giải A số thí sinh giải B nhiều gấp hai lần số thí sinh giải C - Số học sinh giải A nhiều số thí sinh giải A thêm khác người - Số thí sinh giải A số thí sinh giải B cộng với số thí sinh giải C Hỏi có thí sinh giải B? - Hết Giám thị coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh Số báo danh .Phòng thi PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN Câu Nội dung a)x – 2y = xy  x – xy – 2y2 = 2 Điểm  (x + y)(x – 2y) = 0,25 Vì x + y ≠ nên x – 2y =  x = 2y 0,25 2y  y y   y  y 3y 0,5 Khi P = Câu1 b) Ta có : điểm x2 - y2 + 2x - 4y - 10 =  (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – =  (x+1)2 - (y+2)2 =  (x – y - 1)(x + y + 3) = 0,25 Vì x, y nguyên dương nên x + y + > x – y – >  x + y + = x – y – = 0,5  x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) a) Ta có P ( x)   x   x   x   x    2017   x  10 x  16  x  10 x  24   2017 0,25 0,25 Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x)   t  5 t  3  2017  t  2t  2002 0,5 Do chia t  2t  2000 cho t ta có số dư 2002 Vậy số dư phải tìm 2002 0,25 Câu 2 điểm Thực phép chia, ta được: Thương A chia cho B n3 – 6n2 + 11n – Ta có: 0,25 n3  6n  11n   n3  n  12n  6n   (n  1)n.(n  1)  6.(2n  n  1) Vì (n-1).n.(n+1) tích số ngun liên tiếp nên tích vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho suy tích chia hết cho Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho => Th­¬ng cđa phÐp chia A cho B lµ béi sè cđa 0,25 0,25 0,25 a) Ta có B = a3 + b3 + 3ab = a3 + b3 + 3ab(a+b) =(a+b)3=1 (V× a+b =1) điểm b) P 1 1 1      x  x y  y z  z x( x  1) y ( y  1) z ( z  1)  1 1  1 1 1 1               x x 1 y y 1 z z 1  x y z   x 1 y 1 z 1  Áp dụng BĐT 0,25 1 1 1 1        với a, b, c a b c abc ab  a b Câu dương, dấu xảy  a  b  c điểm 1 1  1 1  1 1     1 ;    1 ;    1 x 1  x  y 1  y  z 1  z  Ta có 0,25 Bởi 1 1  1  1 1 1 1  P                     1 y z   x y z   x 1 y 1 z 1   x y z   x 1 1 3 9 0,25 =            x y z 4 x yz 4 Vậy Min P= Dấu xảy x  y  z  0,25 F A N E Câu điểm B D M C DF DC ( Do AM//DF)  AM MC (1) DE BD ( Do AM // DE)  AM BM (2) a) Lập luận : Từ (1) (2)   DE + DF = AM DE  DF BD  DC BC    ( MB = MC) AM BM BM 0,25 0,25 0,25 0,25 b) AMDN hình bành hành Ta có 0,25 NE AE  ND AB 0,25 NF FA DM DM AE     ND AC MC BM AB  NE NF  ND ND 0,25 0,25 => NE = NF c)  AMC  FDC đồng dạng 2 S  AM   ND   AMC      ( AM = ND) S FDC  FD   FD  0,25  FNA  FDC đồng dạng S  FN   FNA    S FDC  FD  0,25 S S  ND  Do đó: AMC FNA    S FDC S FDC  FD  2  ND FN   FN         16  FD FD  16  FD  0,25  S2FDC  16 SAMC.SFNA ( Do  x  y     x  y   xy  Câu điểm 0,25  x  y  16 x y với x  0; y  0) Gọi a số học sinh giải A, b lµ số thí sinh giải B, c số thí sinh giải C, d số thí sinh giải B C không giải A Khi số thí giải A thêm hai bµi B vµ C lµ: 25- a- b- c- d Theo bµi ta cã: b+ d = 2( c +d); a = + 25 - a - b - c - d vµ a = b + c 0,25 4b  c  26 b  từ đẳng thức ta có:  d  b  2c   c 0,25 Vậy số thí sinh giải bµi B lµ thÝ sinh Chú ý: Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối đa tương ứng 0,25 0,25 ...PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN Câu Nội dung a)x – 2y = xy  x – xy – 2y2 = 2... 0,25 F A N E Câu điểm B D M C DF DC ( Do AM//DF)  AM MC (1) DE BD ( Do AM // DE)  AM BM (2) a) Lập luận : Từ (1) (2)   DE + DF = AM DE  DF BD  DC BC    ( MB = MC) AM BM BM 0,25 0,25 0,25...   x   x    2017   x  10 x  16  x  10 x  24   2017 0,25 0,25 Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x)   t  5 t  3  2017  t  2t  2002