Thông tin tài liệu
VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) x2 x x 1 Với x 0, x : x x x x 1 x Cho biểu thức: P a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) So sánh: P2 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: y x x y x y xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a Chứng minh rằng: a b c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 20 x 25 x x 10 x 20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vuông góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c ab bc ca bc ca ab Hết -Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Câu a Nội dung Điều kiện: x 0, x Điểm 0,5 x2 x x 1 P : x x x x 1 x b x2 x x 1 : x x x x 1 0,5 x x ( x 1) ( x x 1) x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 : x 1 2 x 1 0,5 0,5 x x 1 Với x 0, x Ta có: P 0,5 2 x x 1 1,0 x x 1 0,25 x x 60 ( x 2)( x 3) Vì x nên Vậy P = x = x x (t/m) 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c Vì x x x 11 2 x x 1 0 P2 0,25 0 0,25 P ( P 2) P2 2P P2 2P Dấu “=” xảy P = x = a Vậy P2 2P 0,25 0,25 y x x y x y xy y x x y x y xy x 1 (2 y y x) 1 0,5 0,25 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – = x = 0,5 Khi 2y2 - y – = - y = (t/m) y = 1 Z (loại) +) Nếu x – = -1 x = 0,5 Khi 2y - y = y = (t/m) y = x x ; y y 1 Vậy 1 Z (loại) 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b a) Từ giả thiết 0,5 1 1 1 ( )2 a b c a b c 1 2( ) ab bc ca 0,5 Vì a, b, c nên a + b + c = a b c a b c 3 a b 3ab(a b) c 3 0,25 a b c 3abc 3 0,5 0,25 3 3 Vậy a b c M với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) a mà không chứng minh trừ 0,5 điểm Đkxđ: x R 0,25 x 20 x 25 x x 10 x 20 Vì x 20 x 25 x x với x 10x – 20 x 0,5 Ta có: x 20 x 25 x x 10 x 20 0,5 x x 10 x 20 x x 10 x 20 x 28 x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,5 x y 7( x y ) 10 y 2 ( x y 2)( x y 5) y 4 x y 1 0,5 * x + y + = - x = - 5; y = 0,5 * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = 0,5 Amax = - x = -2; y = a E M A N B F 1,0 D C · · · Ta có: ECD (cùng phụ với ECB ) BCF Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) CE = CF ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM EF 1,0 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b * Vì EDC = FBC ED = FB 0,5 NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 * CEF vng C có CM đường trung tuyến nên CM AEF vuông A có AM đường trung tuyến nên AM EF EF 0,5 CM = AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC c (đpcm) Đặt DE = x (x > 0) BF = x SACFE = SACF + SAEF = 0,5 AF AE CB (AB BF) AE AD (a x).DE (a x)x SACFE = 3.SABCD 0,5 0,25 0,5 (a x)x 3a 6a ax x (2a x)(3a x) Do x > 0; a > 3a + x > 2a x x = 2a 0,5 A trung điểm DE AE = a Vì AE //BC nên AN AE 1 NB BC N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí * Vì a, b, c > nên Tương tự: a a ac 1 ab ab abc b ba ; bc abc 0,5 c cb ca abc a b c (1) ab bc ca * Ta có: a a bc a (b c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có: a (b c) a (b c ) 2 abc a (b c) 2a a 2a a abc abc bc a(b c) Tương tự: 2b b ; abc ac 2c c abc ba a b c 2 bc ca ab 0,5 Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) a b c (2) bc ca ab Từ (1) (2) ta có đpcm * Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 5, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Ngày đăng: 30/10/2022, 23:15
Xem thêm:
