SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN Ngày thi: 19/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A 2 10 1 3 b) Cho B n4 n3 n2 n Chứng minh B chia hết cho với số nguyên n Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P x x x 1 2x x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn P b) Tìm giá trị x để P có giá trị Câu (2,0 điểm) 1 1 a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a b c a b c b) Cho số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z x 1 y 1 z 1 Câu (4,0 điểm) x y x y 6 a) Giải hệ phương trình 3 x y x y b) Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h qng đường lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F chân đường cao kẻ từ C, B tam giác ABC D điểm đối xứng A qua O, M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh M trung điểm HD b) Gọi L giao điểm thứ hai CE với đường tròn tâm O Chứng minh H, L đối xứng qua AB c) Chứng minh EF vng góc với AO Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK=DF a) Chứng minh CK = CF b) Chứng minh EF=EK EF tiếp xúc với đường tròn cố định c) Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP 2016-2017 Câu A 2 10 1 3 2 10 2 10 1 3 10 2 1 A 1 b) B n n3 n n B n (n 1) n(n 1) B n.n n 1 n 1 n n 1 n 1 B n n 1 n 1 n 1 Do n 1 n n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Vậy B chia hết cho Câu a) ĐK: x ;x x2 x x x x x 2x x x x 1 x 1 b) P x x 1 P 7x x 8x 12 x 1 P x 2;x (nhận) Câu a b c 3 abc (1) a) Ta có : 1 a 33 b c a.b.c (2) (1) Nhân (2) vế theo vế ta a b c a b c b) P= 1 x y z x 1 y 1 z 1 P 1 1 1 1 1 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 Ta có : a c b (theo câu a) abc 1 9 Nên x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 P 3 4 Vậy GTLN P x y z Câu a) Điều kiện x 0; x y Đặt a x y ;b x y 3a 5b a x y x Hệ trở thành thỏa điều kiện 3 y 3a 4b 3 b x y b) Gọi x quãng đường AB (x>0) Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên x 120 80 x 120 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: 100 Thời gian ô tô lúc ban đầu là: Theo đề ta có phương trình: x 120 x 120 x 1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 Vậy quãng đường AB dài 280 km x 60 x 60 Câu T A F L H E O C B K M D a) DB AB,CE AB nên CE // DB DC AC,BF AC nên DC // BF Tứ giác ABDC hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm DH b) AE HL (a) EAL LCB (1) (góc nội tiếp chắn cung) EHA đồng dạng KHC LCB HAB(2) (K giao điểm AH BC) Từ (1) (2) suy AE phân giác HAL (b) Từ (a) (b) suy E trung điểm HL Vậy H, L đối xứng qua AB c) Kẻ tiếp tuyến từ A đường tròn tâm (O) (3) TAC ABC (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) Tứ giác EFCB nội tiếp ABC EFC 1800 EFC EFA 1800 nên ABC AFE TAC suy EF//AT (4) Từ (3) (4) suy EF vuông góc với AO Câu E A B K H F C D a) CD=CB, DF=BK, FDC CBK 900 nên DFC BKC CK CF b) Gọi H chân đường cao kẻ từ C tam giác CEF HEC BEC HE EB HFC BKC nên FH = BK Cộng vế theo vế suy EF = EK Do HEC BEC CB CH EF CH Vậy tam giác EFC ln tiếp xúc đường tròn cố định tâm C bán kính CH = c) S DFC S HFC ;S HEC S BEC 1 S CEF S CDFEB 16 S AEF S CEF 2 S CEF lớn Khi E A,F D ...ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐỒNG THÁP 2016- 2017 Câu A 2 10 1 3 2 10 2 10 1 3 ... x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 Ta có : a c b (theo câu a) abc 1 9 Nên x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 P 3 4 Vậy GTLN P x y z Câu a) Điều... x 120 80 x 120 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: 100 Thời gian ô tô lúc ban đầu là: Theo đề ta có phương trình: x 120 x 120 x 1 80 100 40 Giải phương trình x = 280 Vậy quãng đường