095 đề HSG toán 9 đắc lắc 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮC LẮC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN – THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) Ngày thi : 05/4/2017 Bài (4 điểm)   a  1 a    a  1 a      a  a  a  a  a   1) Cho số thực a mà a > Rút gọn biểu thức A   x  3x y  y  2) Giải hệ phương trình 16  3 y  x Bài (4 điểm) 1) Tìm m để phương trình x2   2m  1 x  3m   có hai nghiệm x1 ;x2 thỏa mãn x12  x22  2) Cho số thực b thỏa mãn điều kiện đa thức P(x)  x2  bx  2017 có giá trị nhỏ số thực dương Chứng minh hai phương trình 4x2  12 10x  b  4x2  12 10x  b  có hai nghiệm phân biệt Bài (4 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn  2x  y2 2) Với số tự nhiên n, ta đặt M(n)  2n  24n 1 n Chứng minh 2M(n)  chia hết cho 31 Bài (4 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O Dây AB cố định khơng phải đường kính Gọi I trung điểm đoạn AB Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm C, E cho góc CIA EIB góc nhọn CI cắt đường tròn (O) điểm D khác C EI cắt đường tròn (O) điểm F khác E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C D cắt M, tiếp tuyến với đường tròn (O) E F cắt N Nối OM cắt CD P ON cắt EF Q Chứng minh 1) Tứ giác PQNM nội tiếp 2) MN song song với AB Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC cân C, có góc đỉnh 360 Chứng minh AC   AB Bài (2,0 điểm) Cho hai số thực a, b thay đổi cho  a  2;1  b  Tìm giá trị lớn  biểu thức A   a  b2    b  a2     a b b a    ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐẮC LẮC 2016-2017 Bài 1) 3   a 1 1 a 1 1    a  1 a    a  1 a     A         2 a  a  a  a  a   a  a 1 1 a 1 1     a 1 1 a 1  a 1 1 a 1 1 a 1  a 1 1        a a 1 1 a 1 1    a  a   a  a   (do a   a   0; a    0) a x  3x y  y  2) 16 (ĐK: x  0;y  0)  y  (*)  x  x    (1)  16  y   x  1 x  y     x  Ta có (*)  16   3 y   x  y   x  16 (2)   y   x x   x   Giải (1)    121 y (TMDK) y  11     x  y    x   x  y  x  y  Giải (2)  16    (TMDK)  y  y  y  y   3y  y        3 y 1  121  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x;y   1;  ;(2;1)                         Bài 2 1) Ta có    2m  1   3m  1   m  1   với m Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m x1  x  (2m  1) x1x  3m  Theo Vi et, ta có:  x12  x 22    x1  x   2x1x  Khi m    2m  1   3m  1   2m  m     m  1 2m  1     m  1  2 2 b b2 b2 2) P(x)  x  bx  2017   x    2017   2017  2 4  b2 Do Min P(x)  2017  b Ta có 2017    b2  4.2017  2 2017  b  2017 Phương trình: 4x2  12 10x  b  có 1 '  360  4b Phương trình : 4x2  12 10x  b  có  '2  360  4b 360  2017  360  4b  360  2017  '1     '2   360  2017  360  4b  360  2017 Mà 2 2017  b  2017   Vậy hai phương trình có nghiệm phân biệt Bài y   m (1)  1)  2x  y2   y  1 y  1  2x  y   n (2) m  n  x  m n Từ (1) (2)       m  2,n   x  3;y  2) +) Nếu n chẵn  n2  n2  4t (t  )  n  4t  16 t  5k1  1(k1  ) Và 4n4   n2  4p  1(p  )  24n 1n  24p 1  2.16p  5k  2(k  ) Nên M(n)  5k  3(k  )  2M(n)   25k 3   32k  1 31(1) +) Nếu n lẻ  n2  4t  1 t    2n  24t 1  2.16t  5k1   k   Và 4n4   n2  4p (p  )  24n 1n  24p  16p  5k  1(k  ) Nên M(n)  5k  3(k  )  2M(n)   25k 3   32k  1 31 (2) Từ (1) (2) suy 2M(n)  chia hết cho 31 Bài O F D P Q A B I E C N T M 1) Tứ giác PQNM nội tiếp Ta có : OC = OD (bán kính ), MC = MD (MC, MD tiếp tuyến cắt nhau) suy OM trung trực CD  OM  DP Xét ODM : ODM  900 (MD tiếp tuyến (O) D), OM  DP (cmt)  OD2  OP.OM(a) Chứng minh tương tự có: OF2  OQ.ON(b) Lại có: OD  OF (bán kính) © OP ON  OQ OM OP ON  (cmt) Xét OPQ ONM có O chung; OQ OM Từ (a) (b) (c)  OP.OM  OQ.ON  Vậy tam giác OPQ đồng dạng tam giác ONM (c.g.c) nên OPQ  ONM Nên tứ giác PQNM nội tiếp (đpcm) 2) MN song song với AB Tứ giác OPIQ có : OPI  OQI  900 (theo câu a) Vậy tứ giác OPIQ nội tiếp  QOI  QPI (góc nội tiếp chắn cung QI) Lại có ONM  OPQ(cmt)  QOI  ONM  QPI  OPQ  OPI  900 (do OM  DP)  ONT vuông T (T giao điểm OI MN)  OI  MN , mặt khác OI  AB (vì IA  IB  AB (gt) ) AB // MN (đpcm) Bài C 36 D A a B 1800  ACB 1800  360   720 (Vì tam giác ABC cân C) 2 Kẻ phân giác BD góc ABC  CBD  ABD  360 Chứng minh BDC cân D, ABD cân B Ta có CAB  CBA  Đặt AC = BC = x, AB = BD = CD = a (x, a >0) Mặt khác BD phân giác ABC Nên CD AD CD  AD AC a x       x2  ax  a  (*) BC AB BC  AB BC  AB x x a Giải phương trình (*) ta x  Bài x  y Áp dụng BĐT xy    AC  a 1 1  :a  a (vì x >0) nên AB 2 2 4  a   b   a   b2    4 2 a b a b  Ta có: A   a  b2    b  a2       a b  b a  4 Đặt a   x  a2   x2  4;b   y  b2   y2  a a b b Lại có  a  ;1  b  suy a  3a      30  x  a a a b2  3b   2   30  y   b  1 b     b  3b   b   b b b  a  1 a     a  3a   a  x  y  x Nên A   y2         8  64 4  2 a  b  a  b  b  a  b  a a  b    Đẳng thức xảy  a  1 a    a  b   b  b        a  b  Vậy Max A  64   a  b  ... m  1  2 2 b b2 b2 2) P(x)  x  bx  2017   x    2017   2017  2 4  b2 Do Min P(x)  2017  b Ta có 2017    b2  4 .2017  2 2017  b  2017 Phương trình: 4x2  12 10x  b  có... 4x2  12 10x  b  có  '2  360  4b 360  2017  360  4b  360  2017  '1     '2   360  2017  360  4b  360  2017 Mà 2 2017  b  2017   Vậy hai phương trình có nghiệm phân...ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐẮC LẮC 2016- 2017 Bài 1) 3   a 1 1 a 1 1    a  1 a    a  1 a     A    