PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN TOÁN LỚP Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) - Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A = +3 + 3+ + 3− − 3− x − x x + x − x + x +1 x − x +1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x + x − + x − x − = x+3 2) Giải phương trình: x + x + 12 + x + 3x + = x + Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x − 25 = y ( y + 6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH · · a) Chứng minh CIJ = CBH b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh a b c + + > b+c c+a a+b -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… PHÒNG GD-ĐT HUYỆN TRỰC NINH Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi : Tốn Câu Nội dung +3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) +3 A= + 3+ 2( + 3) A= + ( + 1)2 3− + + + 3+ − 3− 2(3 − 5) − ( − 1) = = Điểm + 3− − 3− 2( + 3) 2+ 6+2 + 2(3 − 5) 2− 6−2 2( + 3) 2(3 − 5) + +3 3− A= 2 Bài (4 đ) 2 ) ( ( 0,25 0,5 ) x x3 − x x3 +1 x2 − x x2 + x A= − = − x + x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 Câu (2,25) = x = x ( ( )( ) − x( )( ) x −1 x + x +1 x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 ) x −1 − x ( ) 0,5 x + = x − x − x − x = −2 x b) B = A + x – 1= −2 x + x − = x − x − = ( x − 1) − ≥ −2 0,5 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 Bài (4 đ) 1) Giải phương trình : x + x − + x − x − = Câu (2đ) 0,5 0,5 x − x x + x − x + x +1 x − x +1 a) ĐKXĐ: x ≥ A = 0,75 x+3 ĐKXĐ : x ≥ 0,25 x + x −1 + x − x −1 = x+3 x+3 ⇔ x −1+ x −1 +1 + x −1− x −1 + = 2 x+3 ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = x+3 ⇔ x −1 + 1+ x −1 −1 = (*) Nếu x ≥ phương trình (*) x+3 x+3 ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x −1 = x + 2 ⇔ 16( x − 1) = x + x + ⇔ x − 10 x + 25 = ⇔ ( x − 5) = ⇔ x = (TM) ( ) ( ) 0,5 0,25 0,25 0,25 Nếu ≤ x < phương trình (*) ⇔ x −1 +1+1− x −1 = x+3 x+3 ⇔2= ⇔ = x + ⇔ x = ( TM) 2 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x + x + 12 + x + 3x + = x + Đặt u = x + x + 12, v = x + 3x + ( u > 0, v > 0) 0,25 ⇒ u = x + x + 12, v = x + x + ⇒ u − v = x + 10 = 2( x + 5) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) ⇒ 2(u + v) = (u − v ) ⇔ (u + v)(u − v − 2) = (2) Vì u > 0, v > , từ (2) suy ra: u − v − = Vì x + x + 12 = x + 3x + + (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 2 x + 3x + = x + x + ≥ x ≥ −3 x ≥ −3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 (7 x − 7) + (6 x + 6) = 2 x + x + = x + 7 x + x − = 0,25 0,25 Câu (2đ) 0,5 x ≥ −3 ⇔ ( x + 1)(7 x − 1) = x ≥ −3 ⇔ ⇔ x = −1, x = ( tm ) x = −1, x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Bài (3 đ) Câu (1,5đ) Câu (1,5đ) 0,25 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho 0,5 Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r ∈ { 0;1; −1; 2; −2;3; −3} 0,25 Trong tất trường hợp ta có a3 – không chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – ≠ 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 0,5 0,25 x − 25 = y ( y + 6) Từ x − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,25 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x ≥ y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì phơng trình đà cho cã c¸c nghiƯm : ( x,y) ∈ { ( ±5, ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) } 0,5 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A J H B O + Vì ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC ⊥ BC Suy BC ⊥ CD (1) 0,5 Câu a (1,5 đ) + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ ^ BC · = CBH · · + Suy CIJ (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 Câu b (2 đ) · = +) Trong ∆ vng CBH ta có: tan CBH CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH ⊥ AB (gt) + Suy CJ ⊥ CH · = +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5) ⇒ CH CJ = HB HI 0,5 0,5 CJ CJ = ( CI = HI ) (5) CI HI 0,5 CH CJ · · = + Xét D CJH D HIB có HCJ (cmt) = BHI = 900 HB 0,5 HI + Nên D CJH đồng dạng với D HIB 0,5 · + Lập luận để chứng minh HEI = 90 + Chứng minh ∆HEI đồng dạng với ∆HCJ Câu c (1,5 đ) 0,5 HE HI = + Suy HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 + Mà HJ = HD; HI = HC + Suy HE.HD = HC2 Câu d (2 đ) C M 450 A H O K B N · + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM = 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK ⊥ AB K + Chứng minh D MON vuông cân M KM = KN Suy ·ANC = 450 Xét C º M Ta có C º M nên H º K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ·ANC < ·ANM = 450 · + D HNC có NHC = 900 · · nên HNC + HCN = 900 · · Mà HNC < 450 nên HCN > 450 · · Suy HNC < HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN · + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC = 450 AH + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c + + > b+c c+a a+b Áp dụng BĐT Cauchy ta có a + b + c ≥ a ( b + c) ⇔ Bài (2 đ) 0,5 a 2a ≥ b+c a+b+c Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c ≥ ; ≥ c+a a +b+c a +b a +b+c 2( a + b + c) a b c + + ≥ =2 Suy b+c c+a a+b a +b+c a = b + c Dấu xảy ⇔ b = c + a ⇔ a = b = c = (Trái với giả thiết) c = a + b Vậy dấu = không xảy suy đpcm 0,5 0,5 0,5