SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) x4 x 5 : 1 Cho biểu thức A x 2 x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x 1 x 2 x 6 x 3 45x y b) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x x x 1 Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên x, y thỏa mãn 3x 2y Tính giá trị nhỏ biểu thức H x2 y2 xy x y Câu (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C thuộc đoạn AB cho AC AB; tia Cx vng góc với AB C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt cho CE CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đường tròn CB CD ngoại tiếp tam giác BEC cắt điểm H (H không trùng với C) · · a) Chứng minh ADC ba điểm A, H, E thẳng hàng EBC b) Xác định vị trí C để HC AD c) Chứng minh điểm C thay đổi đường thẳng HC ln qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x y z Chứng minh x 2y z 2 x 2 y z Câu Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đường tròn Chứng minh tồn đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm cịn lại có điểm nằm bên đường tròn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016 Câu x x a) Điều kiện x x x 1 0 x2 x3 x3 : A x x2 2 x b) Để x, A ¢ x ước Suy x nhận giá trị 1; Ta có: A 1 2 x x A - - - 16 - Câu a) Phương trình tương đương: (x2 7x 6).(x2 5x 6) 45x2 Nhận thấy x=0 khơng nghiệm phương trình Phương trình cho tương đương với x 5 x 45 x x 6 x Đặt t x 1, ta t2 81 t 9 x Với t = - ta có x 10 x2 10x x 5 19 x Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 10;x 5 19 Với t = , ta có x x2 8x x 4 10 y y b) x x x 1 1 x 1 x 1 Do x, y ¢ x,y Nếu x= y=0 suy (0;0) nghiệm phương trình cho Nếu x > y x chẵn , đặt x 2k 1,k y1 Khi k 1 2k 2k 1 Do 2k2 2k số lẻ, suy k = nên x= 1; y=1 Suy (1;1) nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm (x;y) (0;0) (1;1) Câu Do x, y ¢ 3x + 2y = suy x, y trái dấu 3x 2y 1 y x 1 x 1 x t ¢ 2 x 1 2t;y 3t Khi H t 3t t Nếu t H t 1 2, dấu “=” xảy t = Nếu t CD; CE CA · · ;DCA BCE 900 CB CD · · Suy hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ADC EBC (1) · · Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy AHC ADC (2) · · Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy EBC CHE 1800 (3) · · Từ (1) (2) (3) suy AHC CHE 1800 suy ba điểm A, H, E thẳng hàng AC · · ADC 600 EBC 600 CD · · Do AD HC ACH ADC 600 · · Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy AEB HCA 600 · b) Ta có : tanADC Suy ABE nên C trung điểm AB · c) Do AHB 900 nên H thuộc đường trịn đường kính AB cố định Kéo dài HC cắt đường trịn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H) · Suy AHI 600 nên I cố định Vậy HC qua I cố định C thay đổi đoạn AB Câu Đặt x y 2a;y z 2b; z x 2c a,b,c 0;a b c Bất đẳng thức trở thành a b 4abc Ta có: a b c a b c Dấu “=” xảy a+b=c 1 a b c a b a b c 4abc a b a b Dấu “=” xảy a b c a b c c Vậy x 2y z 2 x 2 y 2 z x y y z x z Dấu “=” xảy z x y x y z Câu Từ điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành Do có đoạn thẳng có độ dài nhỏ Giả sử điểm A, B, C, D, E hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ Khi điểm C, D, E cịn lại có hai khả sau: TH1: ba điểm nằm phía nửa mặt phẳng bờ AB Vì khơng có điểm thuộc đường trịn nên C, D, E nhìn AB với · · · góc nhọn khác Giả sử ACB đường trịn qua điểm A, ADB AEB B, D chứa điểm C bên điểm E bên ngồi TH2: có điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB Giả sử E khác phía hai điểm C, D Vì khơng có điểm thuộc đường trịn nên C, D nhìn AB với góc · · nhọn khác Giả sử ACB đường tròn qua ba điểm A, B, D ADB, chứa điểm C bên điểm E bên ngồi Vậy ln có đường trịn thỏa mãn điều kiện