093 đề HSG toán 9 vĩnh phúc 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm)  x 4   x 5 Cho biểu thức A     : 1   x    x    x4 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình :  x  1 x   x   x  3  45x2 b) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x  x2  x  1  4y  Câu (1,0 điểm) Cho số nguyên x, y thỏa mãn 3x  2y  Tính giá trị nhỏ biểu thức H  x2  y2  xy  x  y  Câu (3,0 điểm) Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C thuộc đoạn AB cho AB; tia Cx vng góc với AB C Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân CE CA biệt cho   Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đường tròn CB CD  AC  ngoại tiếp tam giác BEC cắt điểm H (H không trùng với C) a) Chứng minh ADC  EBC ba điểm A, H, E thẳng hàng b) Xác định vị trí C để HC  AD c) Chứng minh điểm C thay đổi đường thẳng HC qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh x  2y  z    x   y   z  Câu Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt cho khơng có ba điểm thẳng hàng khơng có bốn điểm thuộc đường tròn Chứng minh tồn đường tròn qua ba điểm năm điểm cho hai điểm lại có điểm nằm bên đường tròn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016 Câu  x   x   a) Điều kiện x   x   x  1  0  x 2 Ta có: A  b) Để x, A   x 3 x4  :  x 3 x 2 A 2 x  x ước Suy  - 1 - 2 x x A x nhận giá trị 1;  2 - 16 - Câu a) Phương trình tương đương: (x2  7x  6).(x2  5x  6)  45x2 Nhận thấy x=0 không nghiệm phương trình 6  Phương trình cho tương đương với  x     x     45  x  x  x Đặt t  x   1, ta t  81   t  9 x Với t = - ta có x   10   x2  10x    x  5  19 x Với t = , ta có x     x2  8x    x   10 Vậy phương trình cho có nghiệm x   10;x  5  19 b) x  x2  x  1  4y    x  1  x2  1  4y Do x, y   x,y  Nếu x= y=0 suy (0;0) nghiệm phương trình cho Nếu x >  y   x  chẵn , đặt x  2k  1, k  Khi  k  1  2k  2k  1  4y1 Do 2k  2k  số lẻ, suy k = nên x= 1; y=1 Suy (1;1) nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm (x;y) (0;0) (1;1) Câu Do x, y  3x + 2y = suy x, y trái dấu 3x  2y   y  x  1 x 1 x   t 2  x   2t;y  3t  Khi H  t  3t  t  Nếu t   H   t  1   2, dấu “=” xảy t = Nếu t CD; CE CA   ;DCA  BCE  900 CB CD Suy hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ADC  EBC (1) Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy AHC  ADC (2) Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy EBC  CHE  1800 (3) Từ (1) (2) (3) suy AHC  CHE  1800 suy ba điểm A, H, E thẳng hàng b) Ta có : tan ADC  AC   ADC  600  EBC  600 CD Do AD  HC  ACH  ADC  600 Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy AEB  HCA  600 Suy ABE nên C trung điểm AB c) Do AHB  900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB cố định Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H) Suy AHI  600 nên I cố định Vậy HC qua I cố định C thay đổi đoạn AB Câu Đặt x  y  2a;y  z  2b; z  x  2c  a, b,c  0;a  b  c  Bất đẳng thức trở thành a  b  4abc Ta có:  a  b  c  a  b  c Dấu “=” xảy a+b=c    a  b  c  a  b   a  b  c  4abc a  b   a  b  Dấu “=” xảy  a  b  c   a  b  c  c   Vậy x  2y  z  2  x 2  y 2  z  x  y  y  z  x  z    Dấu “=” xảy  z  x  y  x  y  z   Câu Từ điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành Do có đoạn thẳng có độ dài nhỏ Giả sử điểm A, B, C, D, E hai điểm A, B có độ dài AB nhỏ Khi điểm C, D, E lại có hai khả sau: TH1: ba điểm nằm phía nửa mặt phẳng bờ AB A B C E D Vì khơng có điểm thuộc đường tròn nên C, D, E nhìn AB với góc nhọn khác Giả sử ACB  ADB  AEB đường tròn qua điểm A, B, D chứa điểm C bên điểm E bên TH2: có điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB Giả sử E khác phía hai điểm C, D E A B C D Vì khơng có điểm thuộc đường tròn nên C, D nhìn AB với góc nhọn khác Giả sử ACB  ADB, đường tròn qua ba điểm A, B, D chứa điểm C bên điểm E bên ngồi Vậy ln có đường tròn thỏa mãn điều kiện ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC NĂM 2015- 2016 Câu  x   x   a) Điều kiện x   x   x  1  0  x 2 Ta... t  81   t  9 x Với t = - ta có x   10   x2  10x    x  5  19 x Với t = , ta có x     x2  8x    x   10 Vậy phương trình cho có nghiệm x   10;x  5  19 b) x  x2  x... y  Vậy GTNN H – t    Câu E H D A C B I a) Từ giả thiết, có: CE > CD; CE CA   ;DCA  BCE  90 0 CB CD Suy hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ADC  EBC (1) Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy