Ề IC Ọ ỘI UYỂ ỌC SI ĂM ỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN 21 12 ĐỀ CHÍNH THỨC IỎI 2015 (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 8x 38 y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm) a) Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A x y 2016 3 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 1 x y z ax by cz a b c Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 11 x x( x y ) y y b) Giải hệ phương trình: 2 y( x y) x y Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S a) Chứng minh AEF ABC đồng dạng AEF cos A S ABC b) Chứng minh rằng: SDEF 1 cos2 A cos2 B cos2 C .S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ố thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 a b c3 a b b c c a P 2abc c ab a bc b ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ ĂM HỌC SINH GIỎI ỌC 2015-2016 MÔN: TỐN Đây ời giải ược, thí sinh có lời giải khác m giám khảo chấm chấm theo th ng điểm ộ du Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 8x 38 y x2 8x 38 y 2x 4x 19 3y 2(x 1) 3(7 y ) (*) T thấy: 2(x 1) 2 y 2 y ẻ T ại có: y y Do y y 1 Lúc đó: 2(x 1) 18 (x 1) 3 nên x1 2; x 4 T thấy cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên củ phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Vì n ố tự nhiên nên n2 + 2n+ > nên n2 – 2n + = n = a b 0,5 0,25 0,25 0,25 nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính A iết: A x y 2016 ? Nhân vế củ đẳng thức cho với x x 2015 t được: 2015 y y 2015 2015 x x 2015 (1) a Nhân vế củ đẳng thức cho với y y 2015 t được: 2015 x x 2015 2015 y y 2015 (2) 2 Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn t được: x + y = Vậy A = 2016 ) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 3 ax by cz 0,25 t t t 1 t (1) x y z x y z 1 1 x x 11 x (1) x x x x 11 0,5 0,5 Suy ra: a b c t t (2) x y z Từ (1) v (2) uy r điều phải chứng minh x2 x 2 0,75 0,25 ax by cz a b c Mặt khác: t x3 a y3 b z3 c a 0,5 1 x y z Đặt: ax by3 cz t Ta có: 0,5 x2 x 11 x2 x x 2x x2 x 2 x2 x 2 0,5 0,25 0,5 0,5 x2 x ( x 1)2 với x 0,5 x2 x Đặt t (t > 0) x2 2x T phương trình: 6t 11t Giải (*) t = thỏ mãn yêu cầu Nên t x 2x x 2x 5 3x 10 x x 2 x 2x x 2x 0,5 x y ( y x) y x( x y ) y y 2 2 y ( x y ) 2( x 1) y y ( x y ) x y x2 x y y ( x y ) x y uv u 4v v 3, u x2 , v x y t có hệ: Đặt u y v 2u v 2v 15 v 5, u Dễ thấy y , ta có: b x2 y x2 x x 1, y +) Với v 3, u t có hệ: x 2, y x y 3 y 3 x x2 y x x 46 VN x y 5 y 5 x y 5 x KL: Vậy hệ cho có h i nghiệm: (1; 2) (2;5) 0,5 0,5 0,5 x2 y +) Với v 5, u ta có hệ: 0,5 A E F H O B D C AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên co A = AC AE AF AEF ABC (c.g.c) Suy = AB AC T m giác ABE vuông E nên co A = a 0,5 0,5 0,5 b S AE Từ AEF ABC suy AEF cos2 A S ABC AB S S Tương tự câu , BDF cos2 B, CDE cos2 C S ABC S ABC S S S S S Từ uy r DEF ABC AEF BDF CDE cos2 A cos2 B cos2 C S ABC S ABC 0,5 1,0 0,5 Suy SDEF 1 cos2 A cos2 B cos2 C S ABC 0,5 c) Chứng minh OA EF ; OB DF ; OC ED c 0,5 Có 2S ABC 2.(S AEOF SBDOF SCDOE ) 0,5 BC AD OA.EF OB.FD OC.ED 0,5 BC AD R( EF FD ED ) 0,5 BC AD R Chu vi t m giác DEF ớn v AD ớn nhất; AD ớn v A điểm giữ cung ớn BC EF FD ED a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P 2bc 2ca 2ab c ab a bc b ac a a bc b2 b2 ac c2 c2 ab M ; ; nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với ố dương x, y t có 0,5 0,5 0,5 0,5 x y (x y) uôn đúng, dấu ằng y x 0,25 xảy r v x = y Áp dụng t có: c2 ab 2ab a bc 2bc b2 ac 2ac P 2 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2+2+2 - ≥ 2 Dấu ằng xảy r v = = c a b c3 a b b c c a Kết uận :giá trị nhỏ củ P 2abc c ab a bc b ca ằng 0,5 a = b = c Đính :Câu 5: P≥ 0,25 ... 0,25 Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính A iết: A x y 2016 ? Nhân vế củ đẳng thức cho với x x 2015 t được: 2015 y y 2015 2015 x x 2015 (1) a Nhân... Nhân vế củ đẳng thức cho với y y 2015 t được: 2015 x x 2015 2015 y y 2015 (2) 2 Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn t được: x + y = Vậy A = 2016 ) Chứng minh rằng: Nếu ax by... ỌC 2015- 2016 MƠN: TỐN Đây ời giải ược, thí sinh có lời giải khác m giám khảo chấm chấm theo th ng điểm ộ du Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 8x 38 y x2 8x 38 y 2x 4x 19