ĐỀ THI HSG TOÁN 9 PHÚ THỌ 2015-2016

ĐỀ THI HSG TOÁN 9 PHÚ THỌ 2015-2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2006-2007 Khóa ngày 05/4/2007 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) - Học sinh làm bài trên giấy thi do giám thị phát (cả phần trắc nghiệm và tự luận). - Hướng dẫn cách ghi phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Ví dụ : ở câu 1, nếu học sinh chọn ý a thì ghi : 1 + a ; nếu chọn ý b thì ghi : 1+b ; Đề thi gồm có 2 trang PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 1. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(3 ; 2) và B(2 ; 3) là : a) –1 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3. 2. Tam giác ABC có diện tích bằng S, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r. Chu vi tam giác ABC bằng : a) S r ; b) 2 S r ; c) 2S r ; d) 3 2 S r . 3. Cho hai đường tròn (O ; 25 cm) và (O’ ; 17 cm) cắt nhau tại A, B với AB = 30 cm. Đoạn nối tâm OO’ bằng : a) 28 cm ; b) 12 cm ; c) 12 cm hoặc 28 cm ; d) 40 cm. 4. Kết luận nào sau đây luôn đúng với mọi giá trị của a, b, c thỏa mãn b 2 – 4ac > 0 ? a) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ; b) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm ; c) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm ; d) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất. 5. Cho góc xOy có số đo 50°. Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc tại A và B. Lấy một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AB của đường tròn. Số đo góc AMB bằng : a) 130° ; b) 140° ; c) 230° ; d) 115°. 6. Cho hai điểm A, B cố định và phân biệt. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Quỹ tích các tiếp điểm là : a) Đường tròn đường kính AB ; b) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm A ; c) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm B ; d) Đường tròn đường kính AB loại trừ cả hai điểm A và B. 7. Trong hình vẽ bên cạnh, hai dây AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại I, AOB = 61°, COD = 135° và AIC = 39°. Ta có : a) AOC = 120° và BOD = 44° ; b) AOC = 121° và BOD = 43° ; c) AOC = 122° và BOD = 42° ; d) AOC = 123° và BOD = 41°. 1 ĐỀ CHÍNH THỨC O A D B C I 135° 61° 39° 8. Cho phương trình 2 2 1 0x x+ − = . Gọi x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình và 2 2 1 2 1 1 A x x = + . Khi đó : a) A = 4 ; b) A = 2 1− ; c) A = 2 1+ ; d) A = 2 . PHẦN II. TỰ LUẬN : (16 điểm) Bài 1 : (4 điểm) Cho phương trình : x 4 + x 3 – 10x 2 + 3x + 3 = 0 (1) 1. Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn : x 4 + x 3 – 10x 2 + 3x + 3 = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) với mọi x ∈ R. 2. Giải phương trình (1). Bài 2 : (4 điểm) Cho parabol (P) : 2 ( )y ax = và đường thẳng (d) : y ax b = + . Xác định các giá trị a, b biết rằng điểm A(–1 ; 4) là một giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Xác định tọa độ giao điểm còn lại của (d) và (P). Bài 3 : (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Lấy một điểm I trên cạnh AB và dựng đường tròn tâm I, bán kính IA. Trên cạnh BC dựng điểm J sao cho đường tròn tâm J, bán kính JC tiếp xúc với đường tròn (I). Đặt x = AI (0 < x < 1). Xác định giá trị của x để tổng chu vi hai đường tròn trên là nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 : (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn và AB < BC. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt cạnh AD của hình bình hành tại P (khác A). 1. Chứng minh tam giác CDP cân. 2. Vẽ đường kính BH của đường tròn (O). Chứng minh DH ⊥ AC. 3. Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng DH. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính. HẾT 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2006-2007 Khóa ngày : 05/4/2007 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN : TOÁN PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 0,5đ × 8 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 a) x x b) x x c) x x x d) x PHẦN 2. TỰ LUẬN : Bài 1 : (4 điểm) 1. Biến đổi được hệ phương trình: 1 10 3 3 a c ac b d ad bc bd + =   + + = −   + =   =  +++ Lý luận được a = 3 ; b = -3 ; c = –2 ; d = –1 (hoặc c = 3 ; d = -3 ; a = –2 ; b = –1) +++ 2. (1) ⇔ (x 2 + 3x SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học : 2015 – 2016 Môn thi : Toán Câu 1(3 điểm): a) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) với n số tự nhiên khác Chứng minh rằng: 4S + số phương b) Tìm số nguyên x,y thoả mãn x + y + xy = y + Câu 2( điểm): x x − x − 17 x + = a) Tính giá trị biểu thức P= P = với 2 x + x +1 x + 3x + x + b) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = a + b + c = Chứng minh a b c + + = a+2 b+2 c+2 (a + 2)(b + 2)(c + 2) Câu 3(4 điểm): a) Giải phương trình: (3x + 1) x − = x + 3x −3 2  x − y + xy + y − x + = b) Giải hệ phương trình:  2  x + y + x + y − = Câu 4( điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M điểm thuộc (O) ( M khác A B) Các tiếp tuyến với (O) A M cắt E Vẽ MP⊥AB ( P∈AB) Vẽ MQ⊥AE ( Q∈AE) a) Chứng minh tứ giác AEMO tứ giác nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Chứng minh PQ,OE,MA đồng quy c) Gọi K giao EB MP Chứng minh K trung điểm MP d) Đặt AP=x, tính MP theo R,x Tìm vị trí điểm M (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Câu 5(2 điểm): Cho a,b,c phân biệt Chứng minh rằng: (a + b + c )( 1 + + )≥ 2 (a − b) (b − c ) (c − a ) Phòng giáo dục và đào tạo thanh thuỷ đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs Năm học 2009 2010 Môn: Toán (Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề.) (Đề thi có: 01 trang ) Câu 1 (2 im) Cho biờu thc P = ( ) ( ) x 1 2 x 2 5 x x 2 x 2 x 2 x 2 + + + + + a)Tim iờu kiờn cua x ờ biờu thc P co gia tri xac inh rụi rut gon biờu thc P. b)Tim x ờ P = 2. Câu 2 (2 điểm): Tính : a) A = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 3 2 5 + b) B = 6 2 5 6 2 5+ + Câu 3 (2 điểm) : Giải phơng trình sau đây : a) 2 2 4016 2008 2x x + = b) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ Câu 4(3 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC = + . Câu 5 (1 điểm) : Cho a,b,c,d là các số dơng có tích abcd = 1 . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 6a b c d ab cd + + + + + Hết Họ và tên : SBD : Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm ! Đề chính thức Phòng giáo dục & đào tạo thanh thuỷ Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 Môn: Toán Năm học 2009 2010 Câu 1 (2 im) Cho biờu thc P = ( ) ( ) x 1 2 x 2 5 x x 2 x 2 x 2 x 2 + + + + + a)Tim iờu kiờn cua x ờ biờu thc P co gia tri xac inh rụi rut gon biờu thc P. b)Tim x ờ P = 2. Nội dung Điểm a)( 1,5 điểm) : P co gia tri xac inh x 0 va x 4 . 0,25 Ta co P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2 2 x x 2 2 5 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 + + + + + + + 0,5 = ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 x 2 2x 4 x 2 5 x 3x 6 x x 2 x 2 x 2 x 2 + + + = + + 0,5 = ( ) ( ) ( ) 3 x x 2 3 x x 2 x 2 x 2 = + + ( vi x 0 va x 4 ) 0,25 b) ( 0,5 điểm) Vi x 0 va x 4 , ta co P = 2 3 x 2 x 2 = + 0,25 3 x 2 x 4 x 4 x 16 = + = = ( thoa man ) Võy vi x = 16 thi P = 2. 0,25 Câu 2 (2 điểm): Tính : a) A = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 3 2 5 + b) B = A = 6 2 5 6 2 5+ + Nội dung Điểm a) (1 điểm): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 3 2 5 10 2 10 18 30 2 25 40 2 53 = + = + + + = + A 0.5 đ 0.5 đ b)(1 điểm): B = 6 2 5 6 2 5+ + = ( ) ( ) 2 2 5 1 5 1+ + = 5 1 5 1 2 5+ + = 0, 5 0, 5 Câu 3 (2 điểm) : Giải các phơng trình sau đây : a) 2 2 4016 2008 2x x + = b) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ Nội dung Điểm a) (1 điểm) : ( ) 2 2 2 4016 2008 2 2008 2 2008 2 2008 2 + = = = = x x x x x + Nếu 2008 2 2006x x = = + Nếu 2008 2 2010x x = = Vậy x= 2006 & x= 2010 là nghiệm PT . 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b)(1 điểm) : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ (2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0x (2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x + + + + + = + ữ ữ ữ ữ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 8 8 4 4 16x x x x x x + + = + + = ữ ữ 0 8x hay x = = và 0x . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm 8x = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: GB HD BC AH HC = + . Nội dung Điểm 0.25 đ a) S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII LP 5 BC TIU HC Nm hc 2010 2011 THI MễN TON Thi gian lm bi: 90 phỳt, khụng k thi gian giao . Ngy thi : 18/3/2011 Bài 1(3 điểm) 1. Cùng một lúc hai ngời đi xe đạp ngợc chiều nhau từ A về B. Ngời đi từ A về B hết 8 giờ, ngời đi từ B về A hết 6 giờ. Hỏi sau một giờ hai ngời đi đợc bao nhiêu phần quãng đờng AB? 2. Tìm tất cả các số có hai chữ số khi chia cho 2 thì d 1, chia cho 3 thì d 2, chia cho 5 thì d 4. 3. Cho dãy số : 0,13; 0,12; 0,11; Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 2 ( 1,5 điểm) Cho biểu thức M = )( baba +ìì 1. Tính giá trị của biểu thức M với a = 18; b=3. 2. Hãy chứng tỏ rằng M là một số chẵn nếu a, b là các số tự nhiên. Bài 3 ( 1,5 điểm) Cho hai số có tổng bằng 360. Nừu viết thêm chữ số 8 vào bên phải số thứ nhất thì đợc số thứ hai. Tìm hai số đã cho. Bài 4 (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lần lợt các điểm M, N, P, Q sao cho 4 3 ==== QA DQ PD CP NC BN MB AM . Nối các điểm M, N, P, Q ta đợc hình vuông MNPQ. a) So sánh tổng chu vi các tam giác với tổng chu vi hai hình vuông có trong hình. b) Cho biết cạnh hình vuông ABCD là 7cm. Tính cạnh hình vuông MNPQ. Bài 5(1,5 điểm): Có một tấm vải. Lần thứ nhất ta cắt lấy ra 3m. Lần thứ hai ta cắt lấy ra 3 1 của mảnh vải còn lại. Lần thứ ba ta cắt lấy thêm 3m của mảnh vải còn lại và cuối cùng còn lại 2 1 tấm vải. Hỏi cả tấm vải dài bao nhiêu mét? Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THcs cấp tỉnh năm học 2010-2011 MễN TON Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú mt trang Cõu 1 (4 im) a) Cho ( ) ( ) 2 2 x 2011 x y 2011 y 2011+ + + + = . Tớnh giỏ tr ca biu thc 2011 2011 T x y= + . b) Tớnh tng S = 4 3 8 15 240 14399 1 3 3 5 119 121 + + + + + + + + + . (mi s hng trong tng trờn cú dng 2 4n 4n 1 2n 1 2n 1 + + + , vi n N v 1 n 60). Cõu 2 (3 im) Gii h phng trỡnh 3 2 3 2 3 2 x 3x 2x 5 y y 3y 2y 5 z z 3z 2z 3 x . + = + + = + + = Cõu 3 (4 im) a) Tỡm s nguyờn dng n 4 3 2 B n n n n 1= + + + + l s chớnh phng. b) So sỏnh M v N bit ( ) ( ) 2011 2010 2010 2010 2011 2011 M 2010 2011 , N 2010 2011= + = + . Cõu 4 (2 im) Cho a, b, c l cỏc s dng. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 4a b 3c 8c A a b 2c 2a b c a b 3c + = + + + + + + + . Cõu 5 (7 im) Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB. Qua B k tip tuyn d ca ng trũn (O). MN l mt ng kớnh thay i ca ng trũn (M khụng trựng vi A, B). Cỏc ng thng AM v AN ct ng thng d ln lt ti C v D. a) Chng minh AM.AC AN.AD= . b) Tỡm giỏ tr nh nht ca tớch AC.AD . c) Chng minh tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc MNC thuc mt ng thng c nh. d) Gi I l giao im ca CO v BM. ng thng AI ct ng trũn (O) ti im th hai l E, ct ng thng d ti F. Chng minh ba im C, E, N thng hng. Ht H v tờn thớ sinh SBD CHNH THC Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài • Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic. • Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm. • Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số. II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Đáp án Điểm Câu 1 (4 điểm) a) Cho ( ) ( ) 2 2 x 2011 x y 2011 y 2011+ + + + = . Tính giá trị của biểu thức 2011 2011 T x y= + . b) Tính tổng S = 4 3 8 15 240 14399 1 3 3 5 119 121 + + + + + + + + + . (mỗi số hạng trong tổng trên có dạng 2 4n 4n 1 2n 1 2n 1 + − − + + , với n N∈ và 1 ≤ n ≤ 60). a) (2 điểm). Từ giả thiết, suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2011 2011 2011 2011 2011+ + + − + + = + −x x x x y y x x 0,50 2 2 2011 2011y y x x⇔ + + = + − (1) 0,50 Tương tự ta có: 2 2 2011 2011x x y y+ + = + − (2) 0,50 Từ (1) và (2) suy ra: x + y = 0 hay x = – y. Suy ra T = 0 0,50 b) (2điểm). Với k là số tự nhiên khác 0 ta có: 2 4 4 1 2 1 2 1 k k k k + − − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k k + − + − − + − − = − + + + − − 0,75 Cho k lần lượt nhận các giá trị 1, 2, …, 60. Ta được: ( ) 3 3 4 3 1 3 1 2 1 3 + = − + 0,75 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 2 ( ) 3 3 8 15 1 5 3 2 3 5 + = − + … ( ) 3 3 240 14399 1 121 119 2 119 121 + = − + Vậy S = ( ) 3 1 121 1 665 2 − = 0,5 Câu 2 (3 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 x 3x 2x 5 y y 3y 2y 5 z z 3z 2z 3 x .  − + − =  + + − =   + + − =  Viết lại hệ đã cho dưới dạng 3 2 3 2 3 2 x 3x 2x 5 y y 3y 2y 5 z z 3z 2z 5 x 2 .  − + − =  + + − =   + + − = −  0,25 Đặt t = x – 2 thì x = t + 2, thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 2 t 2 3 t 2 2 t 2 5 y t 6t 12t 8 3t 12t 12 2t 4 5 y t 3t 2t 5 y + − + + + − = ⇔ + + + − − − + + − = ⇔ + + − = 0,50 Khi đó có hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 t 3t 2t 5 y y 3y 2y 5 z z 3z 2z 5 t  + + − =  + + − =   + + − =  (I) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm): 1) Nếu p < 2p + số nguyên tố 4p + nguyên tố hay hợp số 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x + y ) + = xy Câu (4,0 điểm): A= Cho biểu thức x − x2 + 2x x + x2 + x − x + x2 + 2x x − x2 + 2x 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định 2) Rút gọn biểu thức A Câu (4,0 điểm): Giải phương trình: 1) 2) ( x − 1)3 + x + ( x + 1)3 = ( x + 2) 1+ x − x2 = x + − x với ≤ x ≤ Câu (7,0 điểm): 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E điểm cung AB, hai dây EC, ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I, dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA 2) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh : a) Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Tìm tâm I đường tròn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi Câu (2,0 điểm): Cho xyz = x + y + z = Tìm giá trị nhỏ B = x16 + y16 + z16 - Hết Ghi chú: Thí sinh môn Toán không mang máy tính vào phòng thi PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Câu (3,0 điểm): 1) Vì p SNT p 2p + = (là số nguyên tố) 4p + = hợp số; - Nếu p = => 2p + = (là số nguyên tố) 4p + = 13 số nguyên tố; 1,5 2) Ta có: 2( x + y ) + = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ y (3 x − 2) − (3 x − 2) = + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y nguyên dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1.19 = 19.1 3 x − = (I)  y − = 19 nên ta có khả sau:  ; 3 x − = 19 (II)  y − =  Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình (x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} 1,5 Câu (4,0 điểm):  x + x ≥ ⇔ 2  x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ 1) A xác định x + x ≥ ⇔ x ≤ −2; x ≥ x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ ⇔ x ≠ Vậy A xác định ⇔ x ≤ −2 x > A= 2) A= 2,0 ( x − x + x ) − ( x + x + x )2 ( x − x + x )( x + x + x ) −4 x x + x = x2 + x −2 x 2,0 Câu (4,0 điểm): 1) (x − 1)3 + x + (x + 1)3 = (x + 2)3 ⇔ x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + ⇔ x3 - 3x2 - 3x - = 2,0 ⇔ x3 - - 3x2 - 3x - = ⇔ (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = ⇔ (x2 + x + 1)(x - 4) = 2) Cách 1: 2 1+ x−x = ( x + 1− x   ⇔ 1 + x − x2 ÷ =   ( ) ( x + 1− x ) ) ⇔ x − x − x − x2 = ⇔ x − x2 x − x − =  x − x2 = x = ⇔  ⇔ x =  x − x = Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = 0, x = 2,0 Cách 2: t2 − ⇒ x−x = 1≤ t ≤ 2 Đặt t = x + − x Phương trình trở thành: 1+ t = x = t2 − =t⇔ ⇔ x + 1− x = ⇔  t = ( khoâng thoûa maõn ) x = 2,0 Câu (7,0 điểm): 1) A B D C Q P E I K a) D C nhìn IK hai góc (góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp 1,25 b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp 1,0 c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB 1,25 d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến 0,5 2) A N C I B M D E O K H a) E, D nhìn AB góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB có I (trung điểm AB) tâm 1,25 b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN 1,25 c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K (trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD = KE ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành ⇒ KC = OI không đổi Câu (2,0 điểm): Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥