Đề thi HSG toán 9 2006-2007 Cần thơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2006-2007 Khóa ngày 05/4/2007 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) - Học sinh làm bài trên giấy thi do giám thị phát (cả phần trắc nghiệm và tự luận). - Hướng dẫn cách ghi phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Ví dụ : ở câu 1, nếu học sinh chọn ý a thì ghi : 1 + a ; nếu chọn ý b thì ghi : 1+b ; Đề thi gồm có 2 trang PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 1. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm A(3 ; 2) và B(2 ; 3) là : a) –1 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 3. 2. Tam giác ABC có diện tích bằng S, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r. Chu vi tam giác ABC bằng : a) S r ; b) 2 S r ; c) 2S r ; d) 3 2 S r . 3. Cho hai đường tròn (O ; 25 cm) và (O’ ; 17 cm) cắt nhau tại A, B với AB = 30 cm. Đoạn nối tâm OO’ bằng : a) 28 cm ; b) 12 cm ; c) 12 cm hoặc 28 cm ; d) 40 cm. 4. Kết luận nào sau đây luôn đúng với mọi giá trị của a, b, c thỏa mãn b 2 – 4ac > 0 ? a) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt ; b) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm ; c) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm ; d) Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất. 5. Cho góc xOy có số đo 50°. Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc tại A và B. Lấy một điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AB của đường tròn. Số đo góc AMB bằng : a) 130° ; b) 140° ; c) 230° ; d) 115°. 6. Cho hai điểm A, B cố định và phân biệt. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Quỹ tích các tiếp điểm là : a) Đường tròn đường kính AB ; b) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm A ; c) Đường tròn đường kính AB loại trừ điểm B ; d) Đường tròn đường kính AB loại trừ cả hai điểm A và B. 7. Trong hình vẽ bên cạnh, hai dây AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại I, AOB = 61°, COD = 135° và AIC = 39°. Ta có : a) AOC = 120° và BOD = 44° ; b) AOC = 121° và BOD = 43° ; c) AOC = 122° và BOD = 42° ; d) AOC = 123° và BOD = 41°. 1 ĐỀ CHÍNH THỨC O A D B C I 135° 61° 39° 8. Cho phương trình 2 2 1 0x x+ − = . Gọi x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình và 2 2 1 2 1 1 A x x = + . Khi đó : a) A = 4 ; b) A = 2 1− ; c) A = 2 1+ ; d) A = 2 . PHẦN II. TỰ LUẬN : (16 điểm) Bài 1 : (4 điểm) Cho phương trình : x 4 + x 3 – 10x 2 + 3x + 3 = 0 (1) 1. Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn : x 4 + x 3 – 10x 2 + 3x + 3 = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) với mọi x ∈ R. 2. Giải phương trình (1). Bài 2 : (4 điểm) Cho parabol (P) : 2 ( )y ax = và đường thẳng (d) : y ax b = + . Xác định các giá trị a, b biết rằng điểm A(–1 ; 4) là một giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Xác định tọa độ giao điểm còn lại của (d) và (P). Bài 3 : (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Lấy một điểm I trên cạnh AB và dựng đường tròn tâm I, bán kính IA. Trên cạnh BC dựng điểm J sao cho đường tròn tâm J, bán kính JC tiếp xúc với đường tròn (I). Đặt x = AI (0 < x < 1). Xác định giá trị của x để tổng chu vi hai đường tròn trên là nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 4 : (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc B nhọn và AB < BC. Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt cạnh AD của hình bình hành tại P (khác A). 1. Chứng minh tam giác CDP cân. 2. Vẽ đường kính BH của đường tròn (O). Chứng minh DH ⊥ AC. 3. Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng DH. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính. HẾT 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2006-2007 Khóa ngày : 05/4/2007 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN : TOÁN PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : (4 điểm) 0,5đ × 8 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 a) x x b) x x c) x x x d) x PHẦN 2. TỰ LUẬN : Bài 1 : (4 điểm) 1. Biến đổi được hệ phương trình: 1 10 3 3 a c ac b d ad bc bd + =   + + = −   + =   =  +++ Lý luận được a = 3 ; b = -3 ; c = –2 ; d = –1 (hoặc c = 3 ; d = -3 ; a = –2 ; b = –1) +++ 2. (1) ⇔ (x 2 + 3x –3)(x 2 – 2x – 1) = 0 3 21 2 1 2 x x  − ± =  ⇔   = ±  ++ Bài 2 : (4 điểm) A ∈ (P) ⇒ a = ±2 ++ Với a = 2 : A ∈ (d) ⇒ b = 6 + Giao điểm thứ 2 : B(3/2 ; 9) ++ Với a = –2 : A ∈ (d) ⇒ b = 2 + Giao điểm thứ 2 : B(1/2 ; 1) ++ 3 Bài 3 : (3 điểm) Đặt CJ = y (I) và (J) tiếp xúc ngoài ⇔ x + y = IJ + ⇔ (x + y) 2 = (1 – x) 2 + (1 – y) 2 ⇔ xy = 1 – x – y ⇔ 1 1 x y x − = + + Tổng 2 chu vi của 2 đường tròn : 2π(x + y). Tổng 2 chu vi nhỏ nhất khi x + y nhỏ nhất + 1 2 1 2 2 2 2 1 1 x x y x x x x − + = + = + + − ≥ − + + + x + y nhỏ nhất khi 2 1 2 1 1 x x x + = ⇔ = − + + Giá trị nhỏ nhất của tổng hai chu vi bằng 4 ( 2 1) π − + A B C D I H 4 Bài 4 : (5 điểm) + 1. CDP = CPD (=ABC) + ⇒ Tam giác CDP cân tại C. + 2. CH ⊥ BC ⇒ CH ⊥ PD + AH ⊥ AB ⇒ AH ⊥ CD + ⇒ H là trực tâm tam giác CDP. + ⇒ DH ⊥ AC. 3. DH ⊥ AC ⇒ E ∈ AC và tam giác HAE cân tại H. ⇒ HAE = HEA + Mà HAE = HDC ⇒ HAE = HDC + ⇒ Tứ giác CHDE nội tiếp. + ∆ CHP = ∆ CHD ⇒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính. + Ghi chú : - Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm. - Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó. - Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số. A B C D O P H E 5 . HEA + Mà HAE = HDC ⇒ HAE = HDC + ⇒ Tứ giác CHDE nội tiếp. + ∆ CHP = ∆ CHD ⇒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và đường tròn (O) có cùng bán kính. + Ghi. = 42° ; d) AOC = 123° và BOD = 41°. 1 ĐỀ CHÍNH THỨC O A D B C I 135° 61° 39 8. Cho phương trình 2 2 1 0x x+ − = . Gọi x 1 và x 2 là các nghiệm của