Đề thi HSG Cần thơ 2008 - 2009 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2008-2009 Khóa ngày 03/4/2009 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để A = n 2 + n + 28 là một số chính phương. 2. Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia hết cho 73 và 137. Câu 2 (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 2008 3 2009 3x x= − + + . Câu 3 (3 điểm) Cho biểu thức 1 1 7 2 1 C : 1 4 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x     − − = − + −  ÷  ÷ − − + +     . 1. Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C. 2. Tìm giá trị của x sao cho 8 C 3 = . 3. Tìm giá trị của x sao cho C < 2. Câu 4 (3 điểm) Cho đường thẳng (d 1 ): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0). 1. Viết phương trình các đường thẳng (d 2 ) đối xứng với (d 1 ) qua trục Ox, (d 3 ) đối xứng với (d 1 ) qua trục Oy và (d 4 ) đối xứng với (d 1 ) qua gốc tọa độ O. 2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) và (d 4 ) là hình gì? Tại sao? Xác định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông. Câu 5 (3 điểm) Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số. 1. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. 2. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30 . Câu 6 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A và khác C). Gọi (O 1 ), (O 2 ) lần lượt là các đường tròn có tâm O 1 , O 2 , qua D và tiếp xúc với AB tại A, B. Gọi E là giao điểm của (O 1 ) và (O 2 ) (E khác D). 1. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển trên cạnh AC. 2. Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau. 3. Cho góc ABC bằng 60°. Xác định tỉ số CD CA để đoạn thẳng O 1 O 2 là ngắn nhất. HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2008-2009 Khóa ngày : 03/4/2007 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN Câu 1 (3 đ): 1. Tìm số tự nhiên n để A = n 2 + n + 28 là một số chính phương. 2. Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia hết cho 73 và 137. 1) A là số chính phương ⇒ n 2 + n + 28 = k 2 (k ∈ N , n ∈ N) ⇔ 4n 2 + 4n + 112 = 4k 2 ⇔ (2k – 2n – 1)( 2k + 2n + 1) = 111 = 1.111 hoặc 3.37 (0,5 đ ) Vì 2k + 2n + 1 > 2k – 2n – 1 nên được : 2 2 1 1 2 2 1 111 k n k n − − =   + + =  hoặc 2 2 1 3 2 2 1 37 k n k n − − =   + + =  (0,5 đ ) ⇔ 1 55 k n k n − =   + =  hoặc 2 18 k n k n − =   + =  ⇔ 28 27 k n =   =  hoặc 10 8 k n =   =  (1 đ ) Vậy n = 27 hoặc n = 8 2) abcdabcd = 10000 abcd + abcd = 10001 abcd = 73.137. abcd Vậy abcdabcd đồng thời chia hết cho 73 và 137. (1 đ ) Câu 2 (2 đ): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . B 2008 3 2009 3x x= − + + . Đk : 2009 2008 3 3 x − ≤ ≤ * Ta biết A B A B+ ≥ + và dấu “=” xãy ra khi A = 0 hoặc B = 0 Do đó 2008 3 2009 3 4017B x x= − + + ≥ Dấu “=” khi x = 2009 3 − hoặc x = 2008 3 Vậy minB = 4017 khi x = 2009 3 − hoặc x = 2008 3 (1đ ) * Theo Bunhia ta có : ( ) ( ) ( ) 2 1. 2008 3 1. 2009 3 1 1 2008 3 2009 3x x x x− + + ≤ + − + + ⇔ B 2 2.4017 8034≤ = ⇔ 0 < B 8034≤ , dấu “=” khi 2008 – 3x = 2009 + 3x Vậy maxB = 8034 khi x = 1 6 − (1 đ ) Câu 3 (3 đ) : Cho biểu thức 1 1 7 2 1 C : 1 4 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x     − − = − + −  ÷  ÷ − − + +     . 1. Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C. 2. Tìm giá trị của x sao cho 8 C 3 = . 3. Tìm giá trị của x sao cho C < 2. 1) Đk : x ≥ 0 và x ≠ 1 4 (0,25 đ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 7 2 1 2 1 : 2 1 2 1 2 1 x x x x x x C x x x − + − − + + − − = + − + = ( ) ( ) 2 2 1 2 1 7 2 1 . 2 2 1 2 1 x x x x x x x x + − − − + + + − + ( 0,5 đ ) = 2 2 1 x x x + − ( 0,5 đ ) 2) C = 8 3 ⇔ 2 2 1 x x x + − = 8 3 ⇔ 3x –10 x + 8 = 0 ( 0,5 đ ) ⇔ 4 2 16 4 9 3 x x x x  =  =   ⇔   = =     ( 0,5 đ ) 3) C < 2 ⇔ 2 2 1 x x x + − – 2 < 0 ⇔ 2 2 2 1 x x x − + − < 0 ( 0,25 đ ) ⇔ ( ) 2 1 1 2 1 x x − + − < 0 ⇒ 2 1x − < 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 4 ( 0,5 đ ) Câu 4 (3 đ) : Cho đường thẳng (d 1 ): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0). 1. Viết phương trình các đường thẳng (d 2 ) đối xứng với (d 1 ) qua trục Ox, (d 3 ) đối xứng với (d 1 ) qua trục Oy và (d 4 ) đối xứng với (d 1 ) qua gốc tọa độ O. 2. Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) và (d 4 ) là hình gì? Tại sao? Xác định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông. 1) * Ta có y = f(x) và y = – f(x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Ox Do đó Phương trình của (d 2 ) đối xứng (d 1 ) : y = –2mx + 2m qua trục Ox là : y = – (–2mx + 2m) ⇒ (d 2 ) : y = 2mx – 2m ( 0,5 đ ) * Ta có y = f(x) và y = f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Oy Do đó Phương trình của (d 3 ) đối xứng (d 1 ) : y = –2mx + 2m qua trục Oy là : y = –2m(–x) + 2m ⇒ (d 3 ) : y = 2mx + 2m ( 0,5 đ ) * Ta có y = f(x) và y = –f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Do đó Phương trình của (d 4 ) đối xứng (d 1 ) : y = –2mx + 2m qua O là : y = – [– 2m(–x) + 2m] ⇒ (d 4 ) : y = –2mx – 2m ( 0,5 đ ) 2) * Do gốc tọa độ O là tâm đối xứng của tứ giác tạo bởi (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ), (d 4 ) và Ox vuông góc với Oy nên tứ giác nói trên là một hình thoi. (0,5 đ ) * Để hình thoi này trở thành hình vuông thì : (d 1 ) ⊥ (d 2 ) ⇒ a 1 .a 2 = –1 ⇔ –2m.2m = – 1 ⇔ m 2 = 1 4 ⇔ m = ± 1 2 (1 đ ) Câu 5 (3 đ) : Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số. 1. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt. 2. Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30 . 1) Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt 2 1 2 1 2 ' 3 4 0 . 5 0 2( 1) 0 m m P x x m S x x m  ∆ = + − >  ⇔ = = − >   = + = + >  ( 0,5 đ ) ( 1) ( 4) 5 1 m m m m > ∨ < −   ⇔ <   > −  1 5m ⇔ < < ( 1 đ ) 2) x 1 và x 2 là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền 30 ⇒ x 1 2 + x 2 2 = 30 ⇔ S 2 – 2P – 30 = 0 (0,5 đ ) ⇔ 2m 2 + 5m – 18 = 0 ⇔ 2 9 2 m m =    = −  Chỉ có giá trị m = 2 thỏa mãn (1 đ ) Câu 6 (6 đ) : Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A và khác C). Gọi (O 1 ), (O 2 ) lần lượt là các đường tròn có tâm O 1 , O 2 , qua D và tiếp xúc với AB tại A, B. Gọi E là giao điểm của (O 1 ) và (O 2 ) (E khác D). 1. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển trên cạnh AC. 2. Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau. 3. Cho góc ABC bằng 60°. Xác định tỉ số CD CA để đoạn thẳng O 1 O 2 là ngắn nhất. 1) Gọi I là giao điểm của ED với AB. * ∆ IAD đồng dạng ∆ IEA 2 . IA ID IA IE ID IE IA ⇒ = ⇔ = (1 đ ) * ∆ IBD đồng dạng ∆ IEB 2 . IB ID IB IE ID IE IB ⇒ = ⇔ = ( 0,5 đ ) ⇒ IA = IB ⇒ ED đi qua điểm cố định I là trung điểm của AB. ( 0,5 đ ) 2) * Tam giác ICA cân tại I ⇒ ˆ ˆ (1)CAB ICA= ( 0,5 đ ) * IC = IB ⇒ IC 2 = IE.ID IC ID IE IC ⇔ = ⇒ ∆ ICD đồng dạng ∆ IEC ⇒ ˆ ˆ (2)IEC ICA= ( 1 đ ) (1) & (2) ⇒ ˆ ˆ CAB DEC= ( 0,5 đ ) 3) O 1 A // O 2 B ⇒ O 1 O 2 ngắn nhất ⇔ O 1 O 2 // AB ⇒ DE ⊥ AB tại trung điểm I của AB ⇒ tam giác EAB cân tại E ( 0,5 đ ) Mặt khác do ˆ ˆ CAB DEC= (cmt) ⇒ tứ giác IAEC nội tiếp ⇒ ˆ ˆ ACE AIE= = 90 o ⇒ B, C, E thẳng hàng ( 0,5 đ ) Mà 0 0 ˆ ˆ 60 ( ) 60ABC gt ABE= ⇒ = Nên ∆ EAB đều ⇒ trực tâm D cũng là trọng tâm ⇒ 1 3 DC AC = ( 1 đ ) ( HẾT ) Ghi chú : - Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó. - Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số. A B C D O 1 O 2 E I . TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2008-20 09 Khóa ngày 03/4/20 09 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không. . B 2008 3 20 09 3x x= − + + . Đk : 20 09 2008 3 3 x − ≤ ≤ * Ta biết A B A B+ ≥ + và dấu “=” xãy ra khi A = 0 hoặc B = 0 Do đó 2008 3 20 09 3 4017B x x=