UBND HUYỆN BẠCH THÔNG PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: 4 4 2 14 28 16 x x x x A x x x x − − + = − + − a. Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A . b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Bài 2 (4 điểm). a. Cho đa thức f(n) = n 5 - n 3 + 4n với n nguyên dương. Chứng minh rằng f(n) M 120 b. Một người dùng một thùng nước hết 14 ngày, còn nếu cùng dùng với vợ anh ta thì hết 10 ngày. Hỏi chỉ riêng vợ anh ta dùng thùng nước hết bao nhiêu ngày ? Bài 3 (4 điểm). a. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 3 2 2 x y x y + = − = b. Giải bất phương trình sau: 2010 2011 x < − Bài 4 (4 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120 0 . Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh: 2 2 2 1 1 4 3AM AN AB + = Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và dây CD không vuông góc với nó. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống CD. Chứng minh rằng DE = CF. HẾT ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu 1 a. ĐK: Để A có nghĩa, trước hết 0x ≥ . Đặt ( ) 0t x x= ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 1 4 1 1 4 4 4 2 14 28 16 2 1 2 4 2 2 12 28 16 t t t t t t t t A t t t t t t t t t t − − − + − − − + = = = − + − − − − − − − + Để biểu thức A có nghĩa thì: 0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ ≠ ≠ ≠ (*) Khi đó, rút gọn ta được: ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 t x A t x + + = = − − 2 b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 t t A t t t − + + = = = + − − − Để A là số nguyên thì x nguyên và 2t − phải bằng 1± hoặc 3 ± . - Nếu 2 1 1t t − = − ⇔ = ( loại vì trái điều kiện (*)). - Nếu 2 3 1 0t t − = − ⇔ = − < (loại) - Nếu 2 1 3 9t t x − = ⇔ = ⇔ = và 2A = - Nếu 2 3 5 25t t x − = ⇔ = ⇔ = và 1A = Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì 9x = và 25x = . 2 Câu 2 a. Với n nguyên dương, ta có: f(n) = n 5 - n 3 + 4n = (n - 2)(n - 1) n (n + 1)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp. - Trong 5 số nguyên liên tiếp có mộ số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5. - Trong năm số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 một số chia hết cho 4 nên tích đó chia hết cho 8. - vì 3, 5 và 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho tích 3.5.8 = 120. Vậy f(n) M 120 với n nguyên dương 0.5 0.5 0.5 0.5 b. - Trong một ngày người chồng dùng hết 1 14 thùng nước. - Trong một ngày cả hai vợ chồng dùng hết 1 10 thùng nước. => Trong một ngày người vợ dùng hết: 1 1 1 10 14 35 − = thùng nước. Vậy người vợ dùng một thùng nước trong vòng 35 ngày. 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 3 a. Đặt: x 2 = t ≥ 0 0.5 2 2 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 2 2 8 13 1 13 x y t y t y x y t y + = + = <=> − = − = = <=> − = Vậy hệ có hai nghiệm: 8 13 1 13 x y = − = hoặc 8 13 1 13 x y − = − = 1.0 0.5 b. Điều kiện 0x ≠ , bất phương trình 2010 2011 x < − 2010 2011 0 + ⇔ > x x (2011 2010) 0 0 2010 2011 ⇔ + > > ⇔ < − x x x x 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4 0.5 - trên DC lấy E sao cho = 15 0 => = 90 0 => ∆DAE = ∆BAM (g.c.g) => AE = AM - Xét ∆EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AE A N AH A M AN AH + = => + = (1) - Xét tam giác đều ADC, đường cao AH, ta có: 2 2 3 4 AH AD= (2) - Từ (1) và (2) ta có: 2 2 2 1 1 4 3AM A N AB + = 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 Câu 5 1.0 - Kẻ MN //CD - = ( cặp góc so le trong) => ∆AOH = ∆BOK (g.c.g) => HO = KO - Kẻ OI ⊥ CD ta có IC = ID và IF = KO => IE = IF Do đó DE = CF 0.5 0.5 1.0 1.0 Ghi chú : Nếu thí sinh có cách làm khác nhưng vẫn đúng thì vẫ cho điểm tối đa . UBND HUYỆN BẠCH THÔNG PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) t − = − ⇔ = − < (loại) - Nếu 2 1 3 9t t x − = ⇔ = ⇔ = và 2A = - Nếu 2 3 5 25t t x − = ⇔ = ⇔ = và 1A = Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì 9x = và 25x = . 2 Câu 2 a. Với n nguyên. 15 0 => = 90 0 => ∆DAE = ∆BAM (g.c.g) => AE = AM - Xét ∆EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AE A N AH A M AN AH + = => + = (1) - Xét tam giác đều ADC, đường