DE THI MON TOAN 9 CAP TINH

Gọi N, P lần lợt là điểm đối xứng của M qua các đờng thẳng AB, AC.. a Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.. c Tìm vị trí của M để đoạn NP lớn nhất... a Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệ

Sở giáo dục và đào tạo

HảI dơng

đề chính thức

Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp 9 thcs năm học 2007 – 2008 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian

giao đề)

Ngày thi: 29/3/2008

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1(2 điểm)

b) Tìm số nguyên dơng k thỏa mãn:

Câu 2(2 điểm)

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

f(x) + af(1 – x) = (a – 1)x với mọi giá trị của x (a là

tham số)

Câu 3(2 điểm)

Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:

x4 + (3m – 1)x3 – (3m – 2)x2 + (3m – 1)x + 1 = 0 (m là

tham số)

Câu 4(3 điểm)

Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) và H là

trực tâm của ABC Gọi M là một điểm trên cung BC

không chứa A (M khác B, C) Gọi N, P lần lợt là điểm đối

xứng của M qua các đờng thẳng AB, AC

a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp

b) Chứng minh 3 điểm N, H, P thẳng hàng

c) Tìm vị trí của M để đoạn NP lớn nhất

Câu 5(1 điểm)

Cho a, b, c, d, e thay đổi và thuộc đồng thời thỏa

mãn

a + b + c+ d + e = 0 Tìm giá trị lớn nhất của A = a2 + b2

+ c2 + d2 + e2

………… Hết…………

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:

………

Chữ ký giám thị 1:………Chữ ký giám thị 2………

Đáp án

m Câu

0,5 b)Theo câu a) ta có

( n N*)

0,25

Yêu cầu bài toán trở thành tìm k:

0,25

Câu

2

Vì: f(x) + af(1 – x) = (a – 1)x đúng với mọi x (1)

Do đó thay x bằng 1 – x ta có

f(1 – x) + af(x) = (a – 1)(1 – x) đúng với mọi x (2)

0,25

Nhân hai vế của (2) với a rồi trừ (1) ta đợc

(1 – a2)f(x) = (a – 1)x – a(a – 1)(1 – x)

(1 – a2)f(x) = a(1 – a) + (a2 – 1)x (3)

0,25

+)Nếu a 1 thì f(x) = = (*)

Thử lại:

Từ (*) suy ra f(1 – x) =

Khi đó ta có

0,25

f(x) + af(1 – x) = + a( ) =

(thoả mãn (1)) 0,25 +)Nếu a = -1

(3) có dạng: 0.f(x) = -2( ) (vô lí) Suy ra không tồn

tại f(x)

0,25

+)Nếu a = 1

(1)có dạng: f(x) + f(1 – x) = 0 ( x) (1’) f(x) = - f(1 – x) ( x)

f(x) = ( x) 0,25 Suy ra f (x) có dạng: f(x) = ( x) (**)

Ngợc lại: Nếu f(x) có dạng (**) thì

Kết luận:

* a 1thì f(x) =

* a = 1 thì f(x) =

g(x) là hàm số bất kì xác định với mọi x

* a = -1 thì không tồn tại f(x) 0,25 Câu

3

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình

Với x 0 chia hai vế của phơng trình cho x2 ta đợc

0,25

0,25

Đặt = t

Ta có PT: x2 – tx + 1 = 0(*)

PT(*) có nghiệm khi ∆ 0 2 0,25

PT (1) trở thành: t2 + (3m – 1)t – 3m= 0 (2)

t1 = 1 ; t2 = -3m 0,250,25

PT (1) có nghiệm khi PT(2) có nghiệm 2 0,25

Ta thấy t = 1 không thỏa mãn 0,25

N

K

O B

A

C

M

Do đó để PT(1) có nghiệm thì

ĐS: m

0,25

Câu

4

a) Gọi giao điểm của CH với AB là I

AH với BC là K

ta có tứ giác BIHK nội tiếp 0,25

lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn

một cung)

(t/c đối xứng) (2)

từ (1), (2) tứ giác AHCP

nội tiếp

0,25

0,25 0,25 b), Tứ giác AHCP nội tiếp =

0,25

0,25 Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ giác

AHBN nội tiếp (4)

từ (3), (4) N, H, P thẳng

hàng

0,25 0,25 c)

(<1800) không đổi 0,25

Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP =

2.AP.sin

NP lớn nhất AP lớn nhất mà AP = AM

AM lớn nhất AM là đờng kính của đờng

tròn (O)

Vậy NP lớn nhất AM là đờng kính của

đ-ờng tròn

0,25 0,25 0,25

Câu

* Nếu cả 5 số bằng 0 A = 0

*Nếu có số khác 0 số âm và số dơng (Vì 5 số

có tổng bằng 0)

Giả sử a > 0 ; e < 0 còn 3 số b, c, d 2 số trong

đó sao cho khi

nhân nó với a là số không âm (1) hoặc nhân nó với e là

số không âm (2)

0,25

Nếu có (1) , không mất tính tổng quát giả sử ab 0

và ac 0

(Nếu có (2) làm tơng tự)

; Tơng tự ta có:

(Vì )

=

0,25

Dấu “=”xảy ra

0,25` KL: Giá trị lớn nhất của A bằng 4 khi trong 5 số có hai

số bằng -1; hai số bằng 1 và một số bằng 0 0,25

Sở giáo dục và đào tạo

HảI dơng

đề dự bị

Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp 9 thcs năm học 2007 – 2008 Môn: Toán

Thời gian:150 phút (Không kể thời gian

giao đề)

Ngày thi: 29/3/2008

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1(2 điểm)

Cho

a) Tìm một đa thức bậc 3 với hệ số nguyên, nhận là

nghiệm

b) Tính giá trị biểu thức S =

Câu (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

trong đó m là tham số Câu (2 điểm)

a) Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:

và b) Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

Câu 4(3 điểm)

Cho hai đờng tròn (O1;R1), (O2;R2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Vẽ tiếp tuyến chung CD thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A, có bờ là đờng thẳng O1O2( C

;D ) Dựng hình bình hành ACED

a) Chứng minh 4 điểm B,C,E,D nằm trên một đờng tròn b) Chứng minh 3 điểm A,B,E thẳng hàng

c) Hãy so sánh độ dài BE và độ dài R1+R2

Câu 5(1 điểm)

Cho a, b là hai số dơng thay đổi thỏa mãn a2 + b2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

…… Hết……

Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… Chữ ký giám thị 1:……… Chữ ký giám thị 2:

………

Đáp án đề dự bị

m Câu 1 a)từ giả thiết suy ra

x0 – 1 = (x0 – 1)3 = 6 +6(x0 – 1) x03 -3x02 – 3x0 - 1 = 0 (1)

ĐS: x3 – 3x2 -3x - 1 b) Chia hai vế của (1) cho x03 ta đợc

Câu 2

Nhận thấy P 0( )

P = 0 khi hệ PT sau có nghiệm

Từ (1) và (2) có (m – 6)y = -6 (3)

*Nếu m 6

Hệ có nghiệm duy nhất (x =

)

*Nếu m = 6

Ta có P = (x + 2y – 3)2 + (3x + 6 – 3)2

Đặt x +2y – 3 = t

Ta có P = t2 + (3t + 6)2 = 10(t + )2 +

Dấu “=” xảy ra khi t = (x = ;y R)

KL:

 m 6 MinP = 0 khi (x =

)

 m = 6 MinP = khi (x = ;y R)

Câu 3

a) Giả sử hai PT có nghiệm chung x0 Khi đó ta có: x02 +3x0+ m = 0 (3) x02+ 5x0 + 3m = 0 (4)

Từ (3), (4) suy ra x0 = -m Thay vào (3) ta đợc: m2 – 2m = 0 m =

0 ; m= 2

*Nếu m = 0 Hai PT đã cho trở thành

x2 + 3x = 0 PT có hai nghiệm x = 0; x

= -3

x2 + 5x = 0 PT có hai nghiệm x = 0 ; x

= -5

Hai PT có nghiệm chung là x = 0

*Nếu m = 2 hai PT trở thành

x2 + 3x + 2 = 0 PT có hai nghiệm x = -1; x = -2

x2 + 5x + 6 = 0 PT có hai nghiệm x = -2

; x =- 3

Hai PT có nghiệm chung x = -2

KL: m = 0; m = 2

b) PT tơng đơng với

x2 + 3x + m = 0 (1) ; x2 + 5x + 3m =

0 (2)

PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT(1) và PT(2) mỗi phơng trình

có hai nghiệm phân biệt đồng thời chúng không có nghiệm chung

Theo câu a) ta thấy hai PT (1), (2) không

có nghiệm chung khi m 0, m 2

Vậy ĐK để PT(1) có 4 nghiệm phân biệt là

I H

E

B A

D

O1

C

O1

Câu 4

a)

Suy ra tứ giác BCED nội tiếp

b)

Tứ giác BCED nội tiếp

Mà

Hay 3 điểm A, B, E thẳng hàng

c) Ta có O1O2 là đờng trung trực của AB

Gọi H là giao điểm của O1O2 và AB suy ra HA

= HB

Gọi I là giao điểm của BE và CD

(1) Gọi K là trung điểm của O1O2

Chứng minh IK = (R2 + R2)

IH R1 + R2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE R1 + R2 (dấu bằng xảy ra khi R1 = R2 )

Ta có

= b)

Khi đó 2A (a2 + b2)(

Dấu “=” xảy ra

Ta có 1 = a2 + b2

Dấu “=”xảy ra a = b

Vậy Min A =