Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
Trang 1trờng thcs yên bái
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
năm học 2006 - 2007
Câu 1: (2đ)
Cho hàm số f(x) = 2 4 4
x x
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
) (
2
x
x f
khi x 2
Câu 2: (1đ)
Giải hệ phơng trình
) 3 )(
7 2 ( ) 7 2 )(
3 (
) 4 )(
2 ( ) 2 (
y x y
x
y x y
x
Câu 3: (2,5đ)
Cho biểu thức
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
với x > 0 và x 1 a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: (3đ)
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d Tính AH theo R và d
Câu 5: (1,5đ)
Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án và hớng dẫn chấm
Câu 1
a) f(x) = x2 4x 4 (x 2 ) 2 x 2 (0,25đ)
8
12 10
2 10 2 10
)
(
x
x x
x x
c)
) 2 )(
2 (
2 4
) (
2
x x
x x
x f
Trang 2Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
x
Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
x
Câu 2
2 y -2 x
0
21 6 7 2
2 1 7 6 2
8 4 2 2
) 3 )(
7 2 ( ) 7 2 )(
3 (
) 4 )(
2 ( ) 2 (
y x
y x
x y xy x
y xy
x y xy x xy
y x y
x
y x y
x
(1đ)
Câu 3
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x
1 1
) 1 ( : 1
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
x
x x
x x x
x x
x
x x x
(1đ)
=
1
: 1
1 1
1
x
x x x x
x x
x x
=
1
: 1
1 1
x
x x
x x x
=
1
: 1
2
x
x x
x
x x
1
=
x
x
b) A = 3 =>
x
x
2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3 (0,5đ)
Câu 4
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
CB
CH PB
EH
; (1) (0,5đ)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC POB
Do đó:
OB
CH PB
AH
O
E A P
Trang 3Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
)
2 (
2PB
AH.CB 2PB
AH.CB
AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
d
R d 2.R 4R
) R 4(d
R d 8R
(2R) 4PB
4R.2R.PB CB
4.PB
4R.CB.PB AH
(0,5đ)
Câu 5 (1đ)
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0
<=> (2m - 1)2 - 4 2 (m - 1) > 0
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
4x
3 x
2 1 m x
x
2 1 2m x
x
2 1
2 1 2 1
11 8m -26
7 7m 4 7
4m -13 3
8m -26
7 7m x
7 4m -13 x
1 1
(0,5đ)
8m -26
7 7m 4 7
4m -13
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11 (0,25đ)