Đề thi HSG toán 9 Phù Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm): 1) Nếu p < 2p + số nguyên tố 4p + nguyên tố hay hợp số 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x + y ) + = xy Câu (4,0 điểm): A= Cho biểu thức x − x2 + 2x x + x2 + x − x + x2 + 2x x − x2 + 2x 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A xác định 2) Rút gọn biểu thức A Câu (4,0 điểm): Giải phương trình: 1) 2) ( x − 1)3 + x + ( x + 1)3 = ( x + 2) 1+ x − x2 = x + − x với ≤ x ≤ Câu (7,0 điểm): 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E điểm cung AB, hai dây EC, ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I, dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA 2) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh : a) Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Tìm tâm I đường tròn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi Câu (2,0 điểm): Cho xyz = x + y + z = Tìm giá trị nhỏ B = x16 + y16 + z16 - Hết Ghi chú: Thí sinh môn Toán không mang máy tính vào phòng thi PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Câu (3,0 điểm): 1) Vì p SNT p 2p + = (là số nguyên tố) 4p + = hợp số; - Nếu p = => 2p + = (là số nguyên tố) 4p + = 13 số nguyên tố; 1,5 2) Ta có: 2( x + y ) + = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ y (3 x − 2) − (3 x − 2) = + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y nguyên dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1.19 = 19.1 3 x − = (I)  y − = 19 nên ta có khả sau:  ; 3 x − = 19 (II)  y − =  Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình (x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} 1,5 Câu (4,0 điểm):  x + x ≥ ⇔ 2  x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ 1) A xác định x + x ≥ ⇔ x ≤ −2; x ≥ x + x + x ≠ 0; x − x + x ≠ ⇔ x ≠ Vậy A xác định ⇔ x ≤ −2 x > A= 2) A= 2,0 ( x − x + x ) − ( x + x + x )2 ( x − x + x )( x + x + x ) −4 x x + x = x2 + x −2 x 2,0 Câu (4,0 điểm): 1) (x − 1)3 + x + (x + 1)3 = (x + 2)3 ⇔ x3 - 3x2 + 3x - + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + ⇔ x3 - 3x2 - 3x - = 2,0 ⇔ x3 - - 3x2 - 3x - = ⇔ (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = ⇔ (x2 + x + 1)(x - 4) = 2) Cách 1: 2 1+ x−x = ( x + 1− x   ⇔ 1 + x − x2 ÷ =   ( ) ( x + 1− x ) ) ⇔ x − x − x − x2 = ⇔ x − x2 x − x − =  x − x2 = x = ⇔  ⇔ x =  x − x = Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = 0, x = 2,0 Cách 2: t2 − ⇒ x−x = 1≤ t ≤ 2 Đặt t = x + − x Phương trình trở thành: 1+ t = x = t2 − =t⇔ ⇔ x + 1− x = ⇔  t = ( khoâng thoûa maõn ) x = 2,0 Câu (7,0 điểm): 1) A B D C Q P E I K a) D C nhìn IK hai góc (góc nội tiếp chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp 1,25 b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800 Nên tứ giác CDQP nội tiếp 1,0 c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB 1,25 d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến 0,5 2) A N C I B M D E O K H a) E, D nhìn AB góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB có I (trung điểm AB) tâm 1,25 b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN 1,25 c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K (trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE ⇒ KD = KE ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành ⇒ KC = OI không đổi Câu (2,0 điểm): Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c 2 ⇔ a + b + c ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ B ≥ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ≥ x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 ⇔ B ≥ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 ⇔ B ≥ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ≥ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 ⇔ B ≥ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ≥ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 ⇔ B ≥ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = x + y + z = 3) ⇒ Bmin = ⇔ x = y = z = 0,5 2,0 ...Ghi chú: Thí sinh môn Toán không mang máy tính vào phòng thi PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Câu (3,0 điểm): 1) Vì... x − 2) = + ⇔ (3 x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y nguyên dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1. 19 = 19. 1 3 x − = (I)  y − = 19 nên ta có khả sau:  ; 3 x − = 19 (II)  y − =  Giải hệ phương trình