PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHƯỚC HIỆP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 120 phút Bài (3,5 điểm) a) Chứng minh n3 17n chia hết cho với n x x b) Rút gọn biểu thức: 2 a 1 a a x a 1 a a x Bài (4,5 điểm) a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: 4m dừng lại giây, tiếp 8m dừng lai giây, tiếp 12m dừng lại giây… Cứ từ A đến B kể dừng hết tất 155 giây Biết vật thể ln có vận tốc 2m / giây Tính khoảng cách từ A đến B a b2 b) Biết a 3ab b 3a b 10 Tính M 2018 Bài (4 điểm) 3 2 a) Giải phương trình: x x 1 x x 12 b) Tìm giá trị nhỏ P x y x y 2010 Bài (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BD Gọi P, Q, R trung điểm BD, BC, DC a) Chứng minh APQR hình thang cân b) Biết AB 6cm, AC 8cm Tính độ dài AR Bài (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD M, cắt đường chéo AC N cắt đường thẳng AD K Chứng minh: 1 BN BM BK Bài (1,0 điểm) Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b2 c 4a 2b2 ĐÁP ÁN Bài a) n3 17n n3 n 18n n n 1 n 1 18n Vì n n 1 n 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, 2,3 nên chia hết cho 18n , suy điều phải chứng minh b) x a 1 a a x x2 x2a a a a x x2 a 1 a a x x2 x2a a a a x 2 x x a a x a a x 1 a a 1 a a x x a a x a a x 1 a a 1 a a x x 11 a a a a2 2 11 a a a a Bài a) Gọi x số lần x , x , số lần dừng x Thời gian 12 4x x 2 2 1 x x x 1 Thời gian dừng: x 1 x 1 x( x 1) x 1 2 Lập phương trình x 10 (tm) x( x 1) x( x 1) 155 3x x 310 31 x (ktm) Khoảng cách AB 10.10 1.2 220(m) b) a 3ab a 6a 4b 9a 2b 25 b3 3a 2b 10 b6 6a 2b 9a 4b 100 a 3a 4b 3a 2b b6 125 a b 53 Bài a) x a b2 2018 2018 x 1 x x 12 Đặt x2 x X có X X 12 X X X 12 X X X X X 3 X X 4 19 X 4 x x x (VN ) 2 X x2 x x2 2x x 2 x 1 x 1 x x b) P x y x y 2010 x x y y 2018 x y 2018 2018 Vậy Pmin 2018 x y 2 Bài A D R P B C Q a) PQ đường trung bình tam giác BDC , suy PQ / / AR nên APQR hình thang AQ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) PR BC (đường trung bình tam giác DBC) Suy AQ PR APQR hình thang cân b) Tính BC 10cm Tính chất đường phân giác ABC DA BA DA BA DC BC AC BC BC Thay số tính AD 3cm, DC 5cm, DR 2,5cm Kết AR 5,5cm Bài B A N D K M C AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành) Theo định lý Talet có: MN NC MN MC AB MN NB BM (1) AB AN NB AB BN BN KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD (2) BK KA AB BK AB BK AB BM BM AB MC AB MD MC MD Từ (1) (2) BN BK AB AB AB BM BM Mà MC MD CD AB nên (Điều phải chứng minh) BN BK Bài a b c 4a 2b a b c 2ab a b c 2ab 2 a b c a b c a b c a b c a c b b c a Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh