084 đề HSG toán 9 đà nẵng 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI : TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức M  3a  9a  a  a 2  a 1 a 2  a 2 1 a với a  0;a  a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm tất giá tị nguyên a để biểu thức M nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình x   x   x   x   x  xy  xz  48  b) Giải hệ phương trình xy  y2  yz  12 xz  yz  z  84  Bài (2,0 điểm) a) Cho a  2 2 vµ b  2 2 Chứng minh a b 2016 thõasè 3016 thõasè có chữ số hàng đơn vị b) Cho hàm số y  ax  a  với a tham số, a  a  1 Tìm tất giá trị tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số đạt giá trị lớn Bài (3,5 điểm) Cho trước tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M tùy ý Đường tròn (M;MB) cắt đoạn thẳng AM D a) Chứng minh tam giác BDM tam giác b) Chứng minh MA=MB+MC c) Chứng minh M thay đổi cung nhỏ BC điểm D ln ln nằm đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O) Bài (1,0 điểm) Cho x+y+z= xyz  Tính giá trị biểu thức P 1  2  2 2 x  y  z y  z  x z  x  y2 -HẾT ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG 2015-2016 Câu M M Ta có: M M   a  1 a    3a  a   a  1 a 1  3a  a   (a  1)  (a  4)     a  1 a 1 a 1 M nguyên   a 1 a 1 a 1 a 2  a  2 a 2  1     a   a   1  a  a 1   a3 a 2  a 1 a 2  a  2 a 2  a 1 a 1 a 1 nguyên  a  ước  a  11;1;2  a 0;4;9 (do a  0) Câu 2a Phương trình  x 1  x 1   x 1  x 1     x 1     x 1   9  x 1   x 1    x 1   x  2b Cộng phương trình hệ ta  x  y  z   144  x  y  z  12 x(x  y  z)  48  Mặt khác hệ  y(x  y  z)  12 kết hợp với ta có hai trường hợp sau z(x  y  z)  84  *) Với x+y+z= - 12 hệ có nghiệm  x;y;z    4; 1; 7  *)Với x+y+z=12 hệ có nghiệm  x;y;z   4;1;7  Câu 3a Nhận xét 2 2 2 2  16 (8 thừa số 2) 2016 chia hết cho 252 phân số a thành 252 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị 6) nên tích 252 nhóm có hàn đơn vị 3016 chia hết cho 377 phân số b thành 377 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị 6) nên tích 377 nhóm có hàng đơn vị Suy điều phải chứng minh 3b Tam giác vuông OAB O nên gọi h khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số 1 a2 a2       h OA OB  a  12  a  12  a  12 2a a  2a  2a h        a2  a2  a2 Dấu đẳng thức xảy a=1 Vậy a=1 khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số lớn Câu A I D O C B M a) MB = MD (bán kính đường tròn (M)) BMD  BCA  600 (cùng chắn cung AB) Nên tam giác BMD b) Hai tam giác ABD CBM AB = CB ; BD = BM Và ABD  60  DBC  CBM  DA  MC  MA  MD  DA Mà MD=MB MA=MB+MC c) Gọi I giao điểm (O) với phân giác CO (trong tam giác ABC)  I điểm cung nhỏ AB I điểm cố định thuộc (O) Nên MI phân giác BMD (góc nội tiếp chắn cung AB đường tròn (O)) Nên MI trung trực đoạn thẳng BD BDM tam giác Suy ID=IB Do D ln thuộc đường tròn  I;IB  cố định có tâm thuộc (O) Câu Ta có : x+y+z=0  x  (y  z);y  (z  x);z  (x  y)  x   y  z  ;y   z  x  ;z   x  y  P P x  y  x  y 2  y  z  y  z 2  z  x  x  z  1 xyz   P 0 2xy 2yz 2xz 2xyz 2 ...ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG 2015- 2016 Câu M M Ta có: M M   a  1 a    3a  a   a  1 a 1  3a  a   (a... a 1 nguyên  a  ước  a  11;1;2  a 0;4 ;9 (do a  0) Câu 2a Phương trình  x 1  x 1   x 1  x 1     x 1     x 1   9  x 1   x 1    x 1   x  2b Cộng phương... 7  *)Với x+y+z=12 hệ có nghiệm  x;y;z   4;1;7  Câu 3a Nhận xét 2 2 2 2  16 (8 thừa số 2) 2016 chia hết cho 252 phân số a thành 252 nhóm, nhóm có giá trị 16 (có hàng đơn vị 6) nên tích 252