SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 Cho biểu thức: M = + + với a > 0, a ≠ a a− a a −a a a) Chứng minh M > b) Với giá trị a biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y = 0,5x + , y = − x y = mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hồnh độ M tung độ 1 + N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q = OM ON Bài (2,0 điểm) 17x + 2y = 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x − 2y = 3xy b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x + y − z + z − x = (y + 3) Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn ( C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AM⋅ AN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP BÀIÝ ĐIỂ M ĐỀ -ĐÁP ÁN a + a a −1 a − a a + a −1 + + với a > 0, a ≠ a a− a a −a a a) Chứng minh M > b) Với giá trị a biểu thức N = nhận giá trị nguyên M Cho biểu thức: M = Bài Do a > 0, a ≠ nên: a a − ( a − 1)(a + a + 1) a + a + = = a− a a ( a − 1) a a − a a + a − (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − = = = a −a a a (1 − a) a (1 − a) a a +1 +2 ⇒ M= a Do a > 0; a ≠ nên: ( a − 1)2 > ⇔ a + > a 2,00 0,25 1.a (1,25 đ) a +2 =4 a Ta có < N = < N nhận giá trị nguyên M a = ⇔ a − a + = ⇔ ( a − 2) = Mà N = ⇔ a +1+ a ⇔ a = + hay a = − (phù hợp) ⇒M> 1.b (0,75 đ) Vậy, N nguyên ⇔ a = (2 ± 3) a) Cho hàm số bậc nhất: y = 0,5x + , y = − x y = mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hoành độ dương? Bài b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q= 2.a (0,75 1 + OM ON Điều kiện để (∆m) đồ thị hàm số bậc m ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (∆m) là: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 0,25 0,25 0,5x + = mx ⇔ (m − 0, 5)x = Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m − 0,5 < hay m < 0,5 đ) 2.b (1,25 đ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (∆m) là: − x = mx ⇔ (m + 1)x = Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m + > hay m > −1 Vậy điều kiện cần tìm là: −1 < m < 0,5; m ≠ Đặt m = xM n = yN ⇒ m⋅ n ≠ m ≠ (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0 = am + b ⇒ 2 = a + b ⇒ hệ thức liên hệ m n 2m + n = mn n = b Chia hai vế cho m⋅ n ≠ ta được: + = (**) m n ⇒ = 0,25 0,25 0,25 2 4 1 + ÷ = 2+ 2+ = + ÷− − ÷ m n mn n m n m n m 1 ⇒ Q = + ≥ ; dấu “=” xảy = ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 m n m n (thỏa (*)) 0,25 0,25 Vậy giá trị nhỏ Q 0,25 17x + 2y = 2011 xy x − 2y = 3xy a) Giải hệ phương trình: Bài (1) b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x + y − z + z − x = (y + 3) 3.a (1,25 đ) (2) 2,0 đ 17 1007 x= y + x = 2011 y = 490 ⇔ ⇔ Nếu xy > (1) ⇔ (phù hợp) 1 − = = 490 y = y x x 1007 0,50 17 −1004 y + x = −2011 y = ⇔ ⇒ xy > (loại) Nếu xy < (1) ⇔ 1 − = = − 1031 18 x y x Nếu xy = (1) ⇔ x = y = (nhận) 0,25 0,25 ; KL: Hệ có nghiệm (0;0) ÷ 490 1007 3.b (0,75 đ) Điều kiện x ≥ 0; y −z ≥ 0; z − x ≥ ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ (2) ⇔ x + y − z + z − x = x + y − z + z − x + ⇔ ( x − 1) + ( y − z − 1) + ( z − x − 1) = 0,25 0,25 0,25 x =1 x = ⇔ y − z = ⇔ y = (thỏa điều kiện) z = z − x = Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C ) cho M không trùng F với điểm A B Lấy C điểm đối M xứng O qua A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn B A (C ) điểm thứ hai E Các đường C O Bài thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F (C ) thẳng hàng E b) Chứng minh tích AM⋅ AN không đổi N c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn MN ⊥ BF BC ⊥ NF 4.a ⇒A trực tâm tam giác BNF (1,00 ⇒ FA ⊥ NB đ) Lại có AE ⊥ NB Nên A, E, F thẳng hàng · · , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng CAN = MAB 4.b AN AC = (0,75 Suy ra: AB AM đ) Hay AM ×AN = AB ×AC = 2R khơng đổi (với R bán kính đường trịn (C )) 0,25 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có BA = BC nên A tâm tam giác BNF ⇔ C trung điểm NF (3) Mặt khác: 4.c (1,25 đ) 0,25 · · , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng CAN = CFM CN AC = ⇒ CN ×CF = BC ×AC = 3R ⇒ BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: NF = CN + CF ≥ CN ×CF = 2R không đổi Nên: NF ngắn ⇔ CN =CF ⇔ C trung điểm NF (4) (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF ⇔ NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương (1,00 Đặt: S = 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6⋅ 7⋅ 8⋅ 9⋅ 10⋅ 11⋅ 12 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,50 ⇒ đ) S = 3⋅ 4⋅ 6⋅ 7⋅ 8⋅ 9⋅ 11⋅ 12 100 (1) số nguyên ⇒ hai chữ số tận S 00 Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy S có chữ số tận (vì 100 3⋅ 4=12; 2⋅ 6=12; 2⋅ 7=14; 4⋅ 8=32; 2⋅ 9=18; 8⋅ 11=88; 8⋅ 12=96) 0,25 Vậy ba chữ số tận S 600 0,25