Ề Í – 2016 Mơn: Tốn Ứ ( làm bài: - Đề có r ) Bài 1(3 đ ểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + xy + y = b) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b2 chia hết cho a b chia hết cho Bài 2( đ ểm): a) Cho f ( x) ( x3 12 x 31)2015 Tính f (a) với a 16 16 x4 y b) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x y a b ab x 2016 y 2016 Chứng minh rằng: 1008 1008 a b (a b)1008 Bài ( đ ể ) a) Giải phương trình: x x 3x2 12 x 14 2 4 x y b) Giải hệ phương trình sau : x xy Bài (7 đ ể ) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn (A khác B C) Hạ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC, chúng cắt AB AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng AH c) Chứng minh tỷ số không đổi BC.BE.CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Bài ( đ ể ) Cho x;y;z dương cho Tìm giá trị lớn P 1 6 x y yz zx 1 3x y z y 3z x 3z 3x y HẾT Ư Ẫ ẤM M Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b -2016 Chia để a , đ ể - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) b , đ ể - Ta có : 4a 3ab 11b2 5a 5ab 10b a 2ab b a 2ab b 2 a b ( Vì số nguyên tố) - Ta có: a b a b2 a b a b (đpcm) 0,75 0,5 0,25 a b 0,75 0,5 0,25 âu a( đ ể ) II a 16 16 a3 32 3 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a3 32 3.(4).a a3 32 12a a3 12a 32 a3 12a 31 f (a) 12015 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b( đ ể ) x4 y (x2 y )2 a b ab b(a b) x a(a b) y ab( x x y y ) b x a y 2abx y (bx ay ) Ta cã: ( x y ) nªn Tõ ®ã: x2 y2 x2 y2 x 2016 y 2016 x 2016 y 2016 1008 1008 1008 1008 1008 a b ( a b) a b (a b)1008 a b ab ab III KL:… õu a( ) Giải ph-ơng trình: x x 3x2 12 x 14 §K: 1,5 x 2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT + Đánh giá VP 0,75 VT 2x 2x x2 x VP 0,75 Do ®ã: PT III KL âu b( đ ể ) 0,5 Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0 x=y x = 2 y - Nếu x = y thay vào (1) ta x = ;x = -1 2 - Nếu x = y Thay vào hệ ta hệ vô nghiệm 1 KL : Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1) IV N K A F M I E B IV P H O C Q Câu a(1 đ ) Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) Xét tam giác vuông ACH cã HF AC AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy AE.AB = AF.AC IV Gãc IAH b»ng lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng lÇn gãc CAH Suy gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy I, A K thẳng hàng IV õu ( đ ể ) Ta có: AH2 = BH.CH AH4 = BH2 CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC AH = BE.CF.BC =1 BE.CE.BC âu d( đ ể ) 1 BC SPQFE = ( PE FQ).FE BC.FE Mà FE PQ hay FE 2 SPQFE BC Dấu đẳng thức xảy A điểm nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( để ) IV V HD Áp dụng BĐT + với a; b số dương Ta có: 0,5 0,5 + + + )= ) )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: + )+ + )= + + )= ... M M Môn Toán Nội dung Câu I.a I.b -2016 Chia để a , đ ể - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ; (9 ;0) ;(1 ;4) ;(4... y ) b x a y 2abx y (bx ay ) Ta cã: ( x y ) nên Từ đó: x2 y2 x2 y2 x 2016 y 2016 x 2016 y 2016 1008 1008 1008 1008 1008 a b ( a b) a b (a b)1008 a b ab... 16 16 ) a3 32 3.(4).a a3 32 12a a3 12a 32 a3 12a 31 f (a) 12015 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu b( đ ể ) x4 y (x2 y )2 a b ab b(a b) x a(a b) y ab(