Đề đa HSG toán 8 phù ninh 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) Câu 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n ∈ N n >1 số phương b) Cho B = 21 + 22 + 23 + … + 230 Chứng minh rằng: B chia hết cho 21 Câu 2: (4,0 điểm)  x2 − 2x   2x2 A = − − − ÷ a) Rút gọn biểu thức sau:  2 ÷ x + 8 − x + x − x   x x  b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y Câu 3: (4,0 điểm) a) Chứng minh: a + 5b2 − (3a + b) ≥ 3ab − b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho góc IOM = 90O (I M không trùng đỉnh hình vuông) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm BN tia OM Chứng minh tứ giác IMNB hình thang góc BKM = góc BCO c) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ + ab -Hết Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Câu 1: (4,0 điểm) a 2.0đ b 2.0đ n6 - n + 2n3 + 2n2 = = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n ∈ N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2  n2 - 2n + số phương  n6 - n + 2n3 + 2n2 số phương B = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … + (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( + 23 +…+ 229) suy B M (1) 30 Ta có: B = + + + … + = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = (2 + 24 + … + 228) suy B M (2) Mà số nguyên tố Kết hợp với (1) (2) suy : B M 3.7 hay B M 21 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.5 Câu 2: (4,0 điểm) x ≠ x ≠ a) ĐK:  0.25  x2 − x   x2 A = − 1− − ÷ Ta có  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  0.25  x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)    x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  2x2 = − ÷ ÷ ÷=  ÷ 2 x2 x2   2( x − 2)( x + 4)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x )   x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0.25 0.5 0.5 0.25 2 3  b) Ta có y3 − x = 2x + 3x + =  x + ÷ + > 4  ⇒x  16  3 ⇒ y < x+2 (2) 0.5 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL 0.5 0.25 Câu 3: (4,0 điểm) a a2 + 5b2 – (3a + b) ≥ 3ab – 0,5 ⇔ 2a + 10b – 6a -2b – 6ab +10 ≥ 0,5 2 ⇔ a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + + b2 - 2b +1 ≥ ⇔ (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 ≥ 0,5 Dấu « = » xảy a = ; b = b 0,5 Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 = x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + + y2 - 6y + + 2006 0.5 = (x + y + 1) + (y - 3) + 2006 Nhận thấy với x,y ta có ( x + y + 1)2 ≥ 0;( y − 3) ≥ Suy A ≥ 2006 0.5 0.5 Dấu “=” xảy x = −4, y = Vậy Giá trị nhỏ A 2006 đạt x = −4, y = 0.5 Câu 4: (6,0 điểm) A I O E D B M K N C a) Xét ∆BIO ∆CMO có: ∠ IBO = ∠ MCO = 45O BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) ∠ BOI = ∠ COM( phụ với ∠ BOM) ⇒ ∆BIO = ∆CMO (g.c.g) ⇒ S BIO = SCMO mà S BMOI = S BOI + S BMO 4 Hay S BMOI = SCMO + S BMO = S BOC = S ABCD = a http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1,0 1,0 b) Ta có CM = BI ( ∆BIO = ∆CMO ) ⇒ BM = AI Vì CN // AB nên BM AM IA AM = ⇒ = CM MN IB MN ⇒ IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB hình thang Vì OI = OM ( ∆BIO = ∆CMO ) ⇒ ∆IOM cân O ⇒ ∠ IMO = ∠ MIO = 45O Vì IM // BN ⇒ IM // BK ⇒ ∠ BKM = ∠ IMO = 45O( sole trong) => ∠ BKM = ∠ BCO c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD E Chứng minh ∆ADE = ∆ABM ( g c.g ) ⇒ AE = AM Ta có ∆ANE vuông A có AD ⊥ NE nên AD.NE AN AE S AEN = = 2 ⇒ AD.NE = AN AE ⇒ ( AD.NE ) = ( AN AE )2 Áp dụng định lí Pitago vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD ( AN + AE ) = AN AE ⇒ AN + AE 1 1 = ⇒ + = 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 = + Mà AE = AM CD = AD ⇒ 2 CD AM AN 1,0 0,5 1,0 1,0 0,5 Câu 5: (2,0 điểm) Với số a, b dương: Xét: a + b ≤ + ab ⇔ a2 + b2 – ab ≤ 0,25 ⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) ( a + b > 0) ⇔ a + b3 ≤ a + b ⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 0,5 ⇔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6 ⇔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b ⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ ( ⇔ ab a − b ) 0,25 ≥ ∀ a, b > Vậy: a + b ≤ + ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Câu 1: (4,0 điểm) a 2.0đ b 2.0đ n6 - n + 2n3 + 2n2... B = + + + … + = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (2 28 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 2 28. (1+2+22) = (2 + 24 + … + 2 28) suy B M (2) Mà số nguyên tố Kết hợp với (1) (2) suy :... 0.5 Câu 2: (4,0 điểm) x ≠ x ≠ a) ĐK:  0.25  x2 − x   x2 A = − 1− − ÷ Ta có  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  0.25  x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x