Đề đa HSG toán 8 phù ninh 2015 2016

Chứng minh rằng: B chia hết cho 21.. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O I và M không trùng các đỉnh của hình vuông.. a Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính di

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và n >1 không phải là số chính phương.

b) Cho B= 21 + 22 + 23 + … + 230 Chứng minh rằng: B chia hết cho 21.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức sau:

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3  2x2  3x 2   y 3

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Chứng minh: a2 5 b2 (3 a b  ) 3  ab  5

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).

a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.BIO = ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.

b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia

OM Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO

c) Chứng minh 12 1 2 1 2

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5

Chứng minh rằng: a2 + b2  1 + ab

-Hết

-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán

Câu 1: (4,0 điểm)

a.

2.0đ n

6 - n 4 + 2n3 + 2n2 =

= n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)]

= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)]

= n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2

Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2

Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2

 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương

 n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương

0.5 0.5

0.5 0.5

b.

2.0đ B = 2

1 + 22 + 23 + … + 230

Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230

= (21 + 22) + (23 + 24) + … + (229 + 230)

= 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2)

= 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra B  3 (1)

Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230

= (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (228 +229 + 230)

= 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22)

= 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra B  7 (2)

Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau Kết hợp với (1) và (2) suy ra :

B 3.7 hay B  21

0.75

0.75 0.5

Câu 2: (4,0 điểm)

a) ĐK: x x02





0.25

Ta có

2 8 8 4 2

      

0.25

2( 4) 4(2 ) (2 )

0.25

4 4 4 1 ( 4)( 1) 1

Vậy A 1

2

x

x



 với x x02



b) Ta có

2

y x 2x 3x 2 2 x 0 x y

4 8

 

           

2

(x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2

4 16

 

            

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) 0.5

Câu 3: (4,0 điểm)

a a2 + 5b2 – (3a + b)  3ab – 5

 2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 0

 a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 0

 (a– 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 0

Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1

0,5 0,5 0,5 0,5

b Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016

= x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 + y2 - 6y + 9 + 2006

= (x + y + 1)2 + (y - 3)2 + 2006

Nhận thấy với mọi x,y ta có (x y 1)20;(y 3)20

Suy ra A  2006

Dấu “=” xảy ra khi x4,y3

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi x4,y3

0.5 0.5

0.5 0.5

Câu 4: (6,0 điểm)

E

K

N M

I

O

B A

a) Xét BIOvà CMOcó:

 IBO =  MCO = 45O

BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)

 BOI =  COM( cùng phụ với  BOM)

 S BIO S CMO mà S BMOI S BOI S BMO

b) Ta có CM = BI ( vì BIO=CMO)

 BM = AI

Vì CN // AB nên BM AM IA AM

CM MN  IB MN

 IM // BN ( Định lí Talet đảo)

Vì OI = OM ( vì BIO=CMO)

 IOM cân tại O   IMO =  MIO = 45O

Vì IM // BN  IM // BK

  BKM =  IMO = 45O( sole trong) =>  BKM =  BCO 0,5 c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E Chứng minh

( )

Ta có ANE vuông tại A có AD  NE nên

( ) ( )

AEN

AD NE AN AE S

Áp dụng định lí Pitago vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2



Mà AEAM và CD = AD  12 1 2 12

Câu 5: (2,0 điểm)

Với 2 số a, b dương:

Xét: 2 2  

 (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b) ( vì a + b > 0)

 (a3 + b3)(a3 + b3)  (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5

 a6 + 2a3b3 + b6  a6 + ab5 + a5b + b6

 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0

 ab a2 b2 2 0 đúng  a, b > 0

Vậy: 2 2  

a b 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5 0,5