PHÒNG GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO TIỀNHẢIĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài 1:(4,5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 2) Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: a −b b−c c−a c b a + + + + Nếu a + b + c = ÷ ÷= a b a −b b −c c −a c 3) Cho A = p4 p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Bài 2:(4,0 điểm) x −8 x−4 + 1) Cho biểu thức P = ÷: 1 − ÷ (Với x ≠ 1) x −1 x −1 x + x + a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình: x − 3x + = Chứng minh rằng: f (x) = (x + x − 1) 2018 + (x − x + 1) 2018 − chia hết cho g(x) = x − x Bài 3:(3,5 điểm) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2) Giải phương trình: 2x(8x − 1) (4x − 1) = x − m x −3 + =2 x +3 x +m Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM = CP Kẻ BH vuông góc với AC H Gọi Q trung điểm CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vuông góc với NP c) Đường thẳng AP cắt DC điểm F Chứng minh 1 = + 2 AB AP 4AF2 Bài (1,0 điểm): Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TIỀNHẢIĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC2016 -2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Điểm Bài Nội dung Bài1 (4,5đ) Bài 1:(4,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : M= (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 Cho A= p4 p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương 3.Chứng minh a+b+c = a b a −b b −c c −a c + + + + ÷ ÷ = (1) a b a −b b −c c −a c Câu1 1,5đ M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 = ( x2+7x+10)(x2+7x+12)-24 M = ( x2+7x+11-1)(x2+7x+11+1)-24 M = ( x2+7x+11)2- 25 = ( x2+7x+6) ( x2+7x+16) M =(x+1)(x+6)( x2+7x+16) Câu 1,5đ Các ước dương A 1, p, p , p ,p Tổng ươc + p + p + p + p = n2 (n ∈ N ) 0,5đ ⇒ (2 p + p ) < (2n) < (2 p + p + 2) ⇒ (2n) = (2 p + p + 1) 0,25đ Do đó: p + p + p + p + = p + p3 + p + p + ⇔ p − p − = p1= -1(loại) ; p2 = 0,25đ a −b b−c c−a c a b = x; = y; =z⇒ = ; = ; = c a b a −b x b −c y c −a z 1 1 (1) ⇔ ( x + y + z ) + + ÷ = x y z 0,5 đ 1 1 y+z x+z x+ y ( x + y + z) + + ÷ = + + + ÷(2) y z x y z x y+ z b−c c−a c b − bc + ac − a c = + = Ta lại có: ÷ x b a −b ab a −b a c (a − b)(c − a − b) c (c − a − b) c [ 2c − (a + b + c) ] 2c = = = = ab(a − b) ab ab ab 0,25đ x + z 2a x + y 2b = ; = Tương tự ta có y bc z ac 2 1 1 2c 2a 2b 2 (x + y + z) + + ÷= + + + = 3+ (a + b3 + c ) ab bc ac abc x y z 0,25 điểm Vì a + b + c = ⇒ a + b + c = 3abc 0,25đ Đặt Ta có 1 1 3abc = + = Do ( x + y + z ) + + ÷ = + x y z abc Bài (5đ) 0,25đ 0,5đ ⇒ + p + p + p + p = 4n Ta có p + p + p < 4n < p + p + + p + p + p Câu 1,5đ 0,75 đ 0,5 Bài 2:(5điểm) x−4 x −8 1.Cho biểu thức P = + ÷: 1 − ÷ (Với x ≠ 1) x − x − x + x + http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25đ a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình: x − 3x + = c) Tìm số nguyên x để P nhận giá trị số nguyên 2.Chứng minh rằng: f ( x) = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 − chia hết cho g ( x) = x − x Câu a 1,5đ Câub 1đ Với x ≠ ta có 0,5đ x + x +1− x + x−4 x + x +1 P= + ÷: ÷ 2 x2 + x + ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) 2 x − + x2 + x + x2 + x + − x + x2 + 2x − x2 + P= : = : ÷ ÷ x + x + ( x − 1)( x + x + 1) x + x + ( x − 1)( x + x + 1) 0,5đ ( x + 3)( x − 1) x + x + x + = = ( x − 1)( x + x + 1) x + x +9 x+3 P= Vậy x ≠ x +9 x − x + = suy x = x= (loại) 0,25đ 2+3 = 2 + 13 Kết luận với x= P = 13 0,25đ 0,25đ 0,5đ Thay x=2 vào P ta có P = Câu c Để P nhận giá trị nguyên ⇔ 1đ 0,25đ x+3 x2 + nguyên ( x + 3)M( x + 9) 0,25đ ⇔ ( x − 3)( x + 3)M( x + 9) ⇒ ( x − 9)M( x + 9) ⇒ ( x + − 18)M( x + 9) ⇒ 18M( x + 9) suy x + ước 18 0,25đ Mà x + ≥ > nên x + ∈ { 9;18} nên x = 0;9 ta có x=0 ;3 ;-3 Thử lại ta x=-3 thỏa mãn toán Và kết luận 0,25đ Đa thức g ( x) = x − x = x( x − 1) có hai nghiệm x = x = 0,5đ Câu2 1đ Ta có f (0) = (−1) + − = ⇒ x=0 nghiệm f(x) ⇒ f(x) chứa thừa số 0,25đ x Ta có f (1) = (12 + − 1)2018 + (12 − + 1) 2018 − = ⇒ x=1 nghiệm f(x) ⇒ f(x) 0,25đ chứa thừa số x- mà thừa số x x-1 nhân tử chung f(x) chia hết cho x(x-1) 0,25đ 2018 2018 Vậy f ( x) = ( x + x − 1)2018 + ( x − x + 1)2018 − chia hết cho g ( x) = x − x Bài 3,5đ Bài 3:(3,5điểm) Tìm m để phương trình có nghiệm( m tham số) 2.Giải phương trình: x(8 x − 1) (4 x − 1) = Câu1 2đ 0,25đ x − m x −3 + =2 x+3 x +m ĐKXĐ: x ≠ -3 ; x ≠ -m ta có x −m x −3 + = ⇒ x − m + x − = 2( x + 3)( x + m) x+3 x+m ⇔ x − m − = 2( x + x + 3m + mx) ⇔ −2(m + 3) x = (m + 3) (1) Với m = (1) có dạng 0x = Nghiệm x thỏa mãn điều kiện x ≠ -3; http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25đ 0,5đ 0,5đ x ≠ -m , tập nghiệm phương trình x ≠ ±3 (m + 3) m+3 =− 2(m + 3) Để giá trị nghiệm phương trình ta phải có : m+3 m+3 m+3 − ≠ −3 − ≠ −m tức m ≠ Vậy m ≠ ±3 x = − 2 nghiệm m + 3 Kết luận : với m= -3 S = { x / x ≠ ±3} Với m ≠ ±3 S = − 0,5đ Ta có x(8 x − 1) (4 x − 1) = ⇔ 0,25đ Với m ≠ −3 phương trình (1) có nghiệm x = − Câu 1,5đ (64 x − 16 x + 1)(8 x − x ) = ⇔ (64 x − 16 x + 1)(64 x − 16 x) = 72 (*) Đặt 64x -16x = t ta có (*) ⇔ t(t+1) – 72 = ⇔ t =- t = Với t = -9 ta có 64x -16x= -9 ⇔ 64x -16x + = ⇔ (8x -1) +8 = (vô nghiệm (8x -1)2 +8 > 0) Với t = ta có 64x2 -16x= ⇔ 64x2 -16x – = ⇔ (8x -1)2 -9 = ⇔ x= 2 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 1 x= − Vậy nghiệm phương trình x = 0,25đ 1 x= − b) Bài 4(6 điểm) 0,25 1,25đ Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi H K hình chiếu D B AC M,N,P, Q trung điểm AD, AH, BC, CK a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Chứng minh BQ vuông góc với NP c) Giả sử cạnh AB = 2BC điểm P điểm cạnh BC Tia AP cắt đường thẳng CD điểm F Chứng minh A 1 = + 2 AB AP AF B N H E P M K Q D C Câu a Chưng minh DH // BK (1) 2đ Chứng minh ∆AHD = ∆CKB suy DH = BK (2) Câub 2đ 0,5đ 1đ Từ (1) (2) ⇒ tứ giác MNPQ hình bình hành 0,5đ Gọi E trung điểm BK, chứng minh QE đường trung bình ∆KBC 0,5đ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 nên QE // BC ⇒ QE ⊥ AB(vì BC ⊥ AB) QE = BC = AD Chứng minh AM = QE AM//QE ⇒ tứ giác AMQE hình bình hành 0,5đ Chứng minh AE// NP//MQ (3) Xét ∆AQB có BK QE hai đường cao 0,5đ tam giác ⇒ E trực tâm tam giác 0,5đ nên AE đường cao thứ ba tam giác AE ⊥ BQ ⇒ BQ ⊥ NP B A Câu c 2đ P G D F C Vẽ tia Ax vuông góc AF gọi giao Ax với CD G Chứng minh · · · GAD = BAP ( phụ PAD ) ⇒ ∆ADG ~ ∆ABP (g.g) 0,5đ AP AB = = ⇒ AG = AP AG AD Ta có ∆AGF vuông A có AD ⊥ GF nên AG AF = AD GF (= 2S AGF ) ⇒ AG AF2 = AD GF (1) Ta chia hai vế (1) cho AD AG AF2 Mà 0,25đ 1 = + 1 ⇒ 2 AF ⇒ = + 1 1 2 AD AG AF AB ÷ AP ÷ 2 2 4 1 1 ⇒ = + ⇒ = + 2 2 AB AP AF AB AP AF 0,5đ 0,5 AG2 + AF2 =GF2( Định lý pitago) Bài4 1.0đ 0,25đ Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số chu vi Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương) Ta có xy = 2(x + y +z) (1) x2 +y2 = z2 (2) Từ (2) suy z2 = (x+y)2 - 2xy, thay (1) vào ta có :z2 = (x+y)2 – 4(x + y+z) 0,25đ 0,25đ ⇔ z + z = ( x + y ) − 4( x + y ) ⇔ z + z + = ( x + y ) − 4( x + y ) + 2 2 ⇔ ( z + 2) = ( x + y − 2) ⇔ z + = x + y − z + 2= -x – y + (loại z >0) ⇔ z = x + y − ; thay vào (1) ta xy =2(x+y+x+y-4) ⇔ xy − x − y = −8 ⇔ ( x − 4)( y − 4) = = 1.8 = 2.4 từ tìm giá trị x,y,z : (x=5,y=12,z=13) ;(x=12,y=5,z=13) ;(x=6,y=8,z=10) ;(x=8,y=6,z=10) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 đ 0,25 đ ...PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC2016 -2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Điểm Bài Nội dung Bài1 (4,5đ) Bài 1:(4,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : M=... 9)M( x + 9) ⇒ ( x + − 18) M( x + 9) ⇒ 18M( x + 9) suy x + ước 18 0,25đ Mà x + ≥ > nên x + ∈ { 9; 18} nên x = 0;9 ta có x=0 ;3 ;-3 Thử lại ta x=-3 thỏa mãn toán Và kết luận 0,25đ Đa thức g ( x) = x... 1)20 18 + (12 − + 1) 20 18 − = ⇒ x=1 nghiệm f(x) ⇒ f(x) 0,25đ chứa thừa số x- mà thừa số x x-1 nhân tử chung f(x) chia hết cho x(x-1) 0,25đ 20 18 20 18 Vậy f ( x) = ( x + x − 1)20 18 + ( x − x + 1)2018