PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 mÔN: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt) Bi (4,5 điểm) Cho biểu thức A = 4xy y2 − x : + y + 2xy + x ÷ y −x với x ≠ ± y, y ≠ a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x + y + 2x − 2y − = A = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2016x + 2015x + 2016 Bài (4,0 điểm) { { n ∈ N * Chứng minh A số phương a) Cho A=11 155 56 ) (n chữ số 1) (n - chữ số 5với b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x dư Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x + y + z = xy + yz + zx x 2015 + y 2015 + z 2015 = 32016 b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 1− x x − 2(x − m) − + = x−m x+m m2 − x Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt · O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM = 900 (I M khơng trùng đỉnh hình vng) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm BN tia OM · · Chứng minh tứ giác IMNB hình thang BKM = BCO 1 = + c) Chứng minh 2 CD AM AN Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB a, b, c Các đường cao tương ứng ha, hb, hc Tam giác tam giác biểu thức (a + b + c) đạt giá trị nhỏ nhất? h a2 + h b2 + h c2 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHM mÔN: TON (ỏp ỏn v biu im chm gồm 05 trang) Bài Bài (4,5đ) a/ 2,0 điểm Nội dung Cho biểu thức A = xy y − x2 : + x ≠ ± y, y ≠ 2 ÷ với y + xy + x y −x a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x + y + 2x − 2y − = A = Với x ≠ ± y; y ≠ ta có: xy 1 : + 2 2 ÷ y −x y −x y + xy + x xy 1 A= : + ÷ ( y − x )( y + x ) ( y − x )( y + x) ( y + x) A= y+x+ y−x xy : ÷ ( y − x )( y + x) ( y − x)( y + x ) xy 2y A= : ( y − x )( y + x) ( y − x )( y + x) Điểm 3đ 0,75đ A= 0,75đ xy ( y − x )( y + x) A= ( y − x )( y + x) 2y A = x( x + y ) Vậy x ≠ ± y; y ≠ A = 2x(x + y) b/ 1,0 điểm 0,25đ 0,25đ Ta có 3x + y + x − y − = ⇔ x + xy + x − xy + y + x − y − = 0,5đ ⇔ (2 x + xy ) + ( x − xy + y ) + (2 x − y ) − = 2 ⇔ x( x + y ) + ( x − y ) + 2( x − y ) − = ⇔ A + ( x − y ) + 2( x − y ) + = ⇔ A + ( x − y + 1) = ⇔ + ( x − y + 1) = ⇔ x − y +1 = ( x ≠ ± y; y ≠ ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) = ⇔ 2x2 + x = ⇔ 2x2 + x - = ⇔ (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) + Với x = , ta có y = (thoả mãn) 2 Vậy x, y cần tìm x = y = 2 0,5 0,5 2 Phân tích đa thức thành nhân tử 1,5đ x + 2016 x + 2015 x + 2016 x + 2016 x + 2015 x + 2016 = x + 2015 x + x + 2015 x + 2015 + 0,5đ 4 = ( x + x + − x ) + 2015 x + 2015 x + 2015) 0,5đ = ( x + x + 1) − x + 2015( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2015( x + x + 1) 0,5đ = ( x + + x)( x + − x ) + 2015( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2016) Bài (4 đ) a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1, chia cho (x+1)(x+2) thương 5x cịn dư 2đ Vì f(x) : (x+1) dư ⇒ f(x)= (x+1).Q(x)+4 Vì f(x) : (x+2) dư ⇒ f(x)= (x+2).P(x)+1 Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 cịn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f(-1) = - a+b = ⇒ b = 4+a (1) f(-2) = -2a+b = ⇒ b = 1+2a (2) 1đ 1đ a = b = Từ (1) (2) ⇒ Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7 { 55 { b) Cho A = 11 2đ n ( c / s1) ( n −1) c / s Chứng minh A số phương Ta có 1.75đ A = 11 { + 4.11 { +1 n ( c / s1) n ( c / s1) 10 02 ÷ 102 n − 10n − 102 n + 4.10n + (10 n + 2) ( n −1) cs ÷ = (33 34) = + +1 = = = 14 43 9 9 ( n −1) c / s số phương { 55 { số phương Vậy A = 11 n ( c / s1) ( n −1) c / s Bài 3(4đ) 0.25đ a) Tìm x, y, z biết x + y + z = xy + yz + zx x 2 2đ 2015 +y Ta có 2015 +z 2015 =3 2016 0,5đ x + y + z = xy + yz + zx 2 ⇔ x + y + z − xy − yz − zx = ⇔ ( x − y) + ( y − z )2 + ( z − x) = Chứng minh tìm 1đ x − y = y − z = ⇔ x = y = z z = x = Thay vào x = y = z vào x 2015 + y 2015 + z 2015 = 32016 ta có z 2015 = 32016 ⇔ z 2015 = 32015 ⇔ z = Vậy x = y = z = b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 0,5đ 2đ − x x − 2( x − m) − + = (1) x−m x+m m2 − x ĐKXĐ: x+ m ≠ x- m ≠ ⇔ x ≠ ± m 0,5 ⇒ (1 − x)( x + m) + ( x − 2)( x − m) = − 2( x − m) ⇔ (2m − 1) x = m − 2(*) 0,5đ + Nếu 2m -1= ⇔ m = −3 ta có (*) 0x = (vơ nghiệm) 2 m−2 + Nếu m ≠ ta có (*) ⇔ x = 2m − 0,5đ - Xét x = m 0,5đ ⇔ m−2 = m ⇔ m − = 2m − m 2m − 1 ⇔ 2m − 2m + = ⇔ m − m + = ⇔ m − ÷ + = 2 (Khơng xảy vế trái ln dương) Xét x= - m m−2 = −m ⇔ m − = −2m + m ⇔ m = ⇔ m = ±1 2m − 1 Vậy phương trình vô nghiệm m = m = ±1 ⇔ Bài 4(6đ) 6đ A I O E D a) Xét ∆BIO ∆CMO có: B M C K N 1đ · · IBO = MCO (= 450 ) BO = CO ( t/c đường chéo hình vng) · · · ( phụ với BOM ) BOI = COM ⇒ ∆BIO = ∆CMO (g.c.g) ⇒ S BIO = SCMO mà S BMOI = S BOI + S BMO 1 4 ∆ BIO ∆ CMO b) Ta có CM = BI ( = ) ⇒ BM = AI BM AM IA AM = ⇒ = Vì CN // AB nên CM MN IB MN ⇒ IM // BN ( Định lí Talet đảo) 1đ Hay S BMOI = SCMO + S BMO = S BOC = S ABCD = a Hay IMNB hình thang Vì OI = OM ( ∆BIO = ∆CMO ) · · ⇒ ∆IOM cân O ⇒ IMO = MIO = 450 Vì IM // BN ⇒ IM // BK · · · · ⇒ BKM = IMO = 450 ( sole trong) ⇒ BKM = BCO c) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ∆ADE = ∆ABM ( g c.g ) ⇒ AE = AM Ta có ∆ANE vng A có AD ⊥ NE nên AD.NE AN AE S AEN = = 2 ⇒ AD.NE = AN AE ⇒ ( AD.NE ) = ( AN AE ) áp dụng định lí pitagota vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD ( AN + AE ) = AN AE ⇒ Bài5 (1,5đ) AN + AE 1 1 = ⇒ + = 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 = + Mà AE = AM CD = AD ⇒ 2 CD AM AN 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ A x hc B C D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D điểm đối xứng A qua Cx ⇒ · BAD = 900 ; CD = AC = b; AD = 2hc Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD · Tam BDA có BAD = 900 theo định lý pitago 0,5đ 0,5đ AB + AD = BD ≤ ( BC +CD ) ⇒c +4hc2 ≤ ( a +b) ⇒4hc2 ≤ ( a +b) −c (Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b) Chứng minh tương tự: 4ha2 ≤ (b +c ) −a (Dấu ‘‘ = ’’ xảy b = c) 0,5đ 4hb2 ≤ ( a +c) −b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy c = a) ⇒4( ha2 +hb2 +hc2 ) ≤ ( a +b +c ) ( a +b +c ) ⇒ ≥4 +hb2 +hc2 Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b = c *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm tồn tổng điểm thành phần khơng làm tròn ... nhân tử 1,5đ x + 2016 x + 2015 x + 2016 x + 2016 x + 2015 x + 2016 = x + 2015 x + x + 2015 x + 2015 + 0,5đ 4 = ( x + x + − x ) + 2015 x + 2015 x + 2015) 0,5đ = ( x + x + 1) − x + 2015( x + x + 1)... y = y − z = ⇔ x = y = z z = x = Thay vào x = y = z vào x 2015 + y 2015 + z 2015 = 32016 ta có z 2015 = 32016 ⇔ z 2015 = 32015 ⇔ z = Vậy x = y = z = b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm... n −1) c / s Bài 3(4đ) 0.25đ a) Tìm x, y, z biết x + y + z = xy + yz + zx x 2 2đ 2015 +y Ta có 2015 +z 2015 =3 2016 0,5đ x + y + z = xy + yz + zx 2 ⇔ x + y + z − xy − yz − zx = ⇔ ( x − y) + (