Tính thể tích hình chóp.. Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp.
Trang 1Sở GD - ĐT Thái Bình Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12
-o0o - (Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm y = 4x3 - 3x
2 Chứng minh phơng trình 4x3 3x 1 x2 có 3 nghiệm
Bài 2: (4 điểm)
1 Cho x>y>0 Chứng minh
x y x y
x y
2 Giải bất phơng trình: 2 2
2
Bài 3: (4 điểm)
2
L x Log x
2 Chứng minh:
*
n n
n N n
Bài 4: (6 điểm)
Cho tứ diện ABCD có BC=a, AB=AC=b, BD = DC = c
Gọi là góc AID (với I là trung điểm BC, 0<<
2
)
1 Với điểu kiện nào của b,c thì đờng nối I với trung điểm J của AD là đờng vuông góc chung của BC và AD
Chứng minh khi đó hình cầu đờng kính CD đi qua I và J
2 Với b = c Tính VABCD theo a,b,
Với b = c = 3
2
a xác định để hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc với CD.
Trang 2Sở GD - ĐT Thái Bình đáp án sơ lợc đề học sinh giỏi Toán lớp 12
-o0o - (Thời gian 180 phút)
Bài 1: (6 điểm)
1 (3 điểm): y = 4x3 - 3x
BBT
2
2
2 (3 điểm) Chứng minh phơng trình 4x3 3x 1 x2 có 3 nghiệm
- Có đồ thị y = 4x3 - 3x đã vẽ ở trên
- Hàm y= 2
1 x <=> y > 0
x2+y2 = 1
Có đồ thị là nửa đờng tròn tâm o, bán kính bằng 1
- Vẽ chúng trên cùng hệ trục => đ.p.c.m
Bài 2: (4 điểm)
1 Cho x>y>0 Chứng minh
x y x y
x y
Do x > y> 0 => lnx - lny >
BĐT <=> lnx - lny >
1
1
x
x
y
1
1
x
x y x y y
Xét f(t) = ln t - 2 1
1
t t
với t > 1 f'(t) =
2 2
( 1)
0
t
t t
t >1
=> f(t) đồng biến khi t > 1 Vì x 1
y => ( ) (1)
x
y (1) đợc c.m
2
Đk: x > 0
=> 1 2 2 4 2 2
2
log x 2log & log x log x
Bpt <=> log 2 x 2log 2 x 3 5 log 2 x 3 (1)
(1) tơng đơng với 2 hệ sau:
a x > 0
Trang 32 2 2
1
2
x
b x> 0
2
2
x
x > 8 4t2-28t +48 < 0 (t=log2x) <=> 8< x< 16 Vậy tập nghiệm là S = 0;1 8;16
2
Bài 3 (4 điểm)
1 Giải phơng trình: 2 1
2
2
x
2
x
2
x
(2) <=> tan2x = 1 <=> x =
Thử điều kiện (1) ta đợc x= 5
Kết luận
2 Chứng minh:
*
n
n
n N n
xét f(x) = 1
1
n
x x
f'(x) =
1
n
n
(1) f(x) = 0 1 1 2 12 1
= 0 1 2 1 3 12 1
f'(x) =
0
n
c
(2)
Từ (1) và (2) cho (3)
Trong (3) thay x=n-1 thì VT = 0 và cho kết quả
Trang 4Bài 4 (6 điểm).
- Dễ thấy điều kiện là b = c
- Hình cầu đờng kính CD có tâm là trung điểm Q của CD
- DIC: QI = QD = QC = DC/2
B= c => AD JC
- Tam giác vuông DJC: QJ = QD = QC
=> QD = QC = QI = QJ
=> Hình cầu đờng kính CD đi qua I và J
có = AID
BC = (AID) => VABCD = VBADC = 2VBADI
= 2/3 BI SADI = 2 1
3 2 2
a
AI DI
Vì b = c => AI = DI = AI.DI = AI2 = b2-a2/4
=> VABCD = sin 4 2 2
24
a b a
2
0 là trung điểm của I và J Hình cầu đờng kính IJ tiếp xúc CD
<=> (0,DC) = 1/2IJ
AI ID
Có FC = CI = a/2 (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C)
3
3 1 2
a a
DF D FC
a
DJ DF
(Hai tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm)
JD JID DI
Vậy = arccos(2 3 3)
A
J
D
B
I
C
Qx
B
J
A
D
I
C F
0
Trang 5Sở GD - ĐT Thái Bình Đề thi học kỳ 1 - môn toán lớp 12
-o0o - (Thời gian 120 phút)
Bài 1: (3 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = 2 1
1
x x
có đồ thị (C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C)
2 Viết phơng trình tiếp tuyến tại A = (C) OX
Bài 2: (2 điểm)
1 Cho 0 < <
2
Chứng minh:
.sin + cos > 1
2 Giải phơng trình: Log2(4x + 4) = x - log1/2 (2x+1-3)
Bài 3: (2 điểm) Tính:
a A= 2sin cos 2
x xdx
x x
b B =
3 2 4
sin
xdx x
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b
1 Tính thể tích hình chóp
2 Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 5 (0,5 điểm)
Tính I= 2
dx
Trang 6Sở GD - ĐT Thái Bình đáp án đề thi Toán lớp 12- học kỳ I
-o0o - (Thời gian 120 phút)
Bài 1:
1 BBT
X - 1 + TCĐ: x = 1
y 2 +
2 A = (C) OX => A (-1/2;0)
f'(A) = -4/3
=> pttt tại A là: y- 0 = 4 1
<=> 4 2
y x
Bài 2:
1 Xét f(x) = xsinx + cosx/ 0;
f'(x) = xcosx > 0 x thuộc I Vậy f(x) đồng biến trên I
Do > 0 => f() > f(0) => sin + cos > 1
2 Điều kiện 2x+1-3 > 0 <=> x > 2 3
log 2
Phơng trình <=>
2 2
log
x
x x
<=>
2
x
x
x x x
` Kết luận x = 2
Bài 3:
a Vì (sin2x + 2 cos2x + 5)' = -2sinxcosx => sinxcosxdx = -1/2.d(sin2x + 2cos2x + 5)
1
b Đặt u = x
dv = 2
sin
dx x
3
4
4
d x
x
Bài 4:
1 Có
4
ABCD
a
SV S
B
I
M H
0
Trang 7Có 2 2 9 2 3 2
3
b a
SH SA AH
1
3
SABC ABC
2 2 2
1
36 1 3 12
a b a
2 I là trung điểm của SA
Trong (SAM) trung trực SA cắt SH tại 0
Lập luận cho 0 là tâm cầu, bán kính cầu là R = OS = OA
Đặt AS0 =
2
cos
R OS
Vậy bán kính
2
2 2
3
b R
b a
Bài 5:
I=
0
4
Với I1 sử dụng phép đổi biến t = tanx => 1 3
9
I
Với I2 sử dụng phép đối biến t = cotx => 2 3
18
I
6
I
